Algebra Books

Book SynopsisTable of ContentsI.A Zornsches Lemma.- II.A Untermonoide der additiven Gruppe ?.- II.B Untergruppen und Unterringe von ?.- II.C Kettenbrüche.- III.A Radikale.- III.B Moduln über Hauptidealringen.- III.C Direkte Produkte ohne Basen.- IV.A Die Sylowschen Sätze.- IV.B Primrestklassengruppen.- IV.C Quadratische Reste.- IV.D Freie Gruppen.- IV.E Der Satz von Nielsen und Schreier.- V.A Quadratische Algebren.- V.B Projektive Moduln.- V.C Injektive Moduln.- V.D Divisible abelsche Gruppen.- V.E Moduln endlicher Länge.- V.F Eigenschaften der Matrizenringe.- V.G Halbeinfache Ringe und Moduln.- V.H Projektive Räume.- V.I Synthetische Beschreibung affiner Räume.- VI.A Alternierende Gruppen.- VI.B Spezielle lineare Gruppen.- Namen- und Sachverzeichnis.- Hinweise für Teil 1.

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Book SynopsisTable of ContentsVektorrechnung im V^3 - Komplexe Zahlen - Vektorräume - Matrizen - Lineare Gleichungssysteme und Determinanten - Eigenwerte und Eigenvektoren - Sachwortverzeichnis - Mathematica-Befehle - Maple-Befehle

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Book SynopsisTable of ContentsInhalt: Normalformen: Überblick über die Klassifikation - Die Klassifikation nilpotenter Endomorphismen - Eigenwerte, Eigenräume, Jordan-Zerlegung - Die Jordan-Normalform - Elementarteiler - Die Klassifikation bis auf Konjugation - 1. Beispiel: GL (2,IR) - 2. Beispiel: GL (3,IR) - Anhang: Die schwingende Saite - Historische Bemerkungen zur Untersuchung der Struktur linearer Transformationen/ Vektorräume mit Hermiteschen Formen und ihre Endomorphismen: Sesquilinearformen - Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen- Orthogonalisierung - Isotropie - Klassifikation hermitescher und antihermitescher Formen - Euklidische und unitäre Vektorräume - Die Klassischen Gruppen - Bemerkungen zur Geschichte der Geometrie der klassischen Gruppen.

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Book SynopsisThis introduction to the recent theory of abstract tubes describes the framework for establishing improved inclusion-exclusion identities and Bonferroni inequalities, which are provably at least as sharp as their classical counterparts while involving fewer terms. All necessary definitions from graph theory, lattice theory and topology are provided. The role of closure and kernel operators is emphasized, and examples are provided throughout to demonstrate the applicability of this new theory. Applications are given to system and network reliability, reliability covering problems and chromatic graph theory. Topics also covered include Zeilberger's abstract lace expansion, matroid polynomials and Möbius functions.Table of Contents1. Introduction and Overview.- 2. Preliminaries.- 3.Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes.- 4. Abstract Tubes via Closure and Kernel Operators.- 5. Recursive Schemes.- 6. Reliability Applications.- 7. Combinatorial Applications and Related Topics.- Bibliography.- Index.

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Book SynopsisThis softcover reprint of the 1974 English translation of the first three chapters of Bourbaki’s Algebre gives a thorough exposition of the fundamentals of general, linear, and multilinear algebra. The first chapter introduces the basic objects, such as groups and rings. The second chapter studies the properties of modules and linear maps, and the third chapter discusses algebras, especially tensor algebras.Table of ContentsAlgebraic Structures.- Linear Algebra.- Tensor Algebras, Exterior Algebras.- Symmetric Algebras.- Historical Notes.

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Book SynopsisThis is an English translation of the now classic "Algbre Locale - Multiplicits" originally published by Springer as LNM 11. It gives a short account of the main theorems of commutative algebra, with emphasis on modules, homological methods and intersection multiplicities. Many modifications to the original French text have been made for this English edition, making the text easier to read, without changing its intended informal character.Table of ContentsI. Prime Ideals and Localization.- §1. Notation and definitions.- §2. Nakayama’s lemma.- §3. Localization.- §4. Noetherian rings and modules.- §5. Spectrum.- §6. The noetherian case.- §7. Associated prime ideals.- §8. Primary decompositions.- II. Tools.- A: Filtrations and Gradings.- §1. Filtered rings and modules.- §2. Topology defined by a filtration.- §3. Completion of filtered modules.- §4. Graded rings and modules.- §5. Where everything becomes noetherian again — q -adic filtrations.- B: Hilbert-Samuel Polynomials.- §1. Review on integer-valued polynomials.- §2. Polynomial-like functions.- §3. The Hilbert polynomial.- §4. The Samuel polynomial.- III. Dimension Theory.- A: Dimension of Integral Extensions.- §1. Definitions.- §2. Cohen-Seidenberg first theorem.- §3. Cohen-Seidenberg second theorem.- B: Dimension in Noetherian Rings.- §1. Dimension of a module.- §2. The case of noetherian local rings.- §3. Systems of parameters.- C: Normal Rings.- §1. Characterization of normal rings.- §2. Properties of normal rings.- §3. Integral closure.- D: Polynomial Rings.- §1. Dimension of the ring A[X1,..., Xn].- §2. The normalization lemma.- §3. Applications. I. Dimension in polynomial algebras.- §4. Applications. II. Integral closure of a finitely generated algebra.- §5. Applications. III. Dimension of an intersection in affine space.- IV. Homological Dimension and Depth.- A: The Koszul Complex.- §1. The simple case.- §2. Acyclicity and functorial properties of the Koszul complex.- §3. Filtration of a Koszul complex.- §4. The depth of a module over a noetherian local ring.- B: Cohen-Macaulay Modules.- §1. Definition of Cohen-Macaulay modules.- §2. Several characterizations of Cohen-Macaulay modules.- §3. The support of a Cohen-Macaulay module.- §4. Prime ideals and completion.- C: Homological Dimension and Noetherian Modules.- §1. The homological dimension of a module.- §2. The noetherian case.- §3. The local case.- D: Regular Rings.- §1. Properties and characterizations of regular local rings.- §2. Permanence properties of regular local rings.- §3. Delocalization.- §4. A criterion for normality.- §5. Regularity in ring extensions.- Appendix I: Minimal Resolutions.- §1. Definition of minimal resolutions.- §2. Application.- §3. The case of the Koszul complex.- Appendix II: Positivity of Higher Euler-Poincaré Characteristics.- Appendix III: Graded-polynomial Algebras.- §1. Notation.- §2. Graded-polynomial algebras.- §3. A characterization of graded-polynomial algebras.- §4. Ring extensions.- §5. Application: the Shephard-Todd theorem.- V. Multiplicities.- A: Multiplicity of a Module.- §1. The group of cycles of a ring.- §2. Multiplicity of a module.- B: Intersection Multiplicity of Two Modules.- §1. Reduction to the diagonal.- §2. Completed tensor products.- §3. Regular rings of equal characteristic.- §4. Conjectures.- §5. Regular rings of unequal characteristic (unramified case).- §6. Arbitrary regular rings.- C: Connection with Algebraic Geometry.- §1. Tor-formula.- §2. Cycles on a non-singular affine variety.- §3. Basic formulae.- §4. Proof of theorem 1.- §5. Rationality of intersections.- §6. Direct images.- §7. Pull-backs.- §8. Extensions of intersection theory.- Index of Notation.

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Book SynopsisThis is an English translation of the now classic "Algbre Locale - Multiplicits" originally published by Springer as LNM 11. It gives a short account of the main theorems of commutative algebra, with emphasis on modules, homological methods and intersection multiplicities. Many modifications to the original French text have been made for this English edition, making the text easier to read, without changing its intended informal character.Table of ContentsI. Prime Ideals and Localization.- §1. Notation and definitions.- §2. Nakayama’s lemma.- §3. Localization.- §4. Noetherian rings and modules.- §5. Spectrum.- §6. The noetherian case.- §7. Associated prime ideals.- §8. Primary decompositions.- II. Tools.- A: Filtrations and Gradings.- §1. Filtered rings and modules.- §2. Topology defined by a filtration.- §3. Completion of filtered modules.- §4. Graded rings and modules.- §5. Where everything becomes noetherian again — q -adic filtrations.- B: Hilbert-Samuel Polynomials.- §1. Review on integer-valued polynomials.- §2. Polynomial-like functions.- §3. The Hilbert polynomial.- §4. The Samuel polynomial.- III. Dimension Theory.- A: Dimension of Integral Extensions.- §1. Definitions.- §2. Cohen-Seidenberg first theorem.- §3. Cohen-Seidenberg second theorem.- B: Dimension in Noetherian Rings.- §1. Dimension of a module.- §2. The case of noetherian local rings.- §3. Systems of parameters.- C: Normal Rings.- §1. Characterization of normal rings.- §2. Properties of normal rings.- §3. Integral closure.- D: Polynomial Rings.- §1. Dimension of the ring A[X1,..., Xn].- §2. The normalization lemma.- §3. Applications. I. Dimension in polynomial algebras.- §4. Applications. II. Integral closure of a finitely generated algebra.- §5. Applications. III. Dimension of an intersection in affine space.- IV. Homological Dimension and Depth.- A: The Koszul Complex.- §1. The simple case.- §2. Acyclicity and functorial properties of the Koszul complex.- §3. Filtration of a Koszul complex.- §4. The depth of a module over a noetherian local ring.- B: Cohen-Macaulay Modules.- §1. Definition of Cohen-Macaulay modules.- §2. Several characterizations of Cohen-Macaulay modules.- §3. The support of a Cohen-Macaulay module.- §4. Prime ideals and completion.- C: Homological Dimension and Noetherian Modules.- §1. The homological dimension of a module.- §2. The noetherian case.- §3. The local case.- D: Regular Rings.- §1. Properties and characterizations of regular local rings.- §2. Permanence properties of regular local rings.- §3. Delocalization.- §4. A criterion for normality.- §5. Regularity in ring extensions.- Appendix I: Minimal Resolutions.- §1. Definition of minimal resolutions.- §2. Application.- §3. The case of the Koszul complex.- Appendix II: Positivity of Higher Euler-Poincaré Characteristics.- Appendix III: Graded-polynomial Algebras.- §1. Notation.- §2. Graded-polynomial algebras.- §3. A characterization of graded-polynomial algebras.- §4. Ring extensions.- §5. Application: the Shephard-Todd theorem.- V. Multiplicities.- A: Multiplicity of a Module.- §1. The group of cycles of a ring.- §2. Multiplicity of a module.- B: Intersection Multiplicity of Two Modules.- §1. Reduction to the diagonal.- §2. Completed tensor products.- §3. Regular rings of equal characteristic.- §4. Conjectures.- §5. Regular rings of unequal characteristic (unramified case).- §6. Arbitrary regular rings.- C: Connection with Algebraic Geometry.- §1. Tor-formula.- §2. Cycles on a non-singular affine variety.- §3. Basic formulae.- §4. Proof of theorem 1.- §5. Rationality of intersections.- §6. Direct images.- §7. Pull-backs.- §8. Extensions of intersection theory.- Index of Notation.

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Book SynopsisIn many areas of mathematics some “higher operations” are arising. These havebecome so important that several research projects refer to such expressions. Higher operationsform new types of algebras. The key to understanding and comparing them, to creating invariants of their action is operad theory. This is a point of view that is 40 years old in algebraic topology, but the new trend is its appearance in several other areas, such as algebraic geometry, mathematical physics, differential geometry, and combinatorics. The present volume is the first comprehensive and systematic approach to algebraic operads. An operad is an algebraic device that serves to study all kinds of algebras (associative, commutative, Lie, Poisson, A-infinity, etc.) from a conceptual point of view. The book presents this topic with an emphasis on Koszul duality theory. After a modern treatment of Koszul duality for associative algebras, the theory is extended to operads. Applications to homotopy algebra are given, for instance the Homotopy Transfer Theorem. Although the necessary notions of algebra are recalled, readers are expected to be familiar with elementary homological algebra. Each chapter ends with a helpful summary and exercises. A full chapter is devoted to examples, and numerous figures are included. After a low-level chapter on Algebra, accessible to (advanced) undergraduate students, the level increases gradually through the book. However, the authors have done their best to make it suitable for graduate students: three appendices review the basic results needed in order to understand the various chapters. Since higher algebra is becoming essential in several research areas like deformation theory, algebraic geometry, representation theory, differential geometry, algebraic combinatorics, and mathematical physics, the book can also be used as a reference work by researchers.Trade ReviewFrom the reviews:“It is a welcome addition to the existing literature and will, no doubt, become a standard reference for many authors working in this quickly developing field. … it is an impressive piece of work, which gives a comprehensive account of the foundations of the theory of algebraic operads, starting from the most basic notions, such as associative algebras and modules. It will be of interest to a broad swath of mathematicians: from undergraduate students to experts in the field.” (Andrey Yu. Lazarev, Mathematical Reviews, March, 2013)Table of ContentsPreface.- 1.Algebras, coalgebras, homology.- 2.Twisting morphisms.- 3.Koszul duality for associative algebras.- 4.Methods to prove Koszulity of an algebra.- 5.Algebraic operad.- 6 Operadic homological algebra.- 7.Koszul duality of operads.- 8.Methods to prove Koszulity of an operad.- 9.The operads As and A\infty.- 10.Homotopy operadic algebras.- 11.Bar and cobar construction of an algebra over an operad.- 12.(Co)homology of algebras over an operad.- 13.Examples of algebraic operads.- Apendices: A.The symmetric group.- B.Categories.- C.Trees.- References.- Index.- List of Notation.

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Book SynopsisDie Bewältigung des Grundstudiums Mathematik entscheidet sich größtenteils am erfolgreichen Lösen der gestellten Übungsaufgaben. Dies erfordert jedoch eine Professionalität, in die Studierende erst langsam hineinwachsen müssen. Das vorliegende Buch möchte sie bei diesem Prozess unterstützen. Es schafft Vorbilder in Gestalt ausführlicher Musterlösungen zu typischen Aufgaben aus der Analysis und der Linearen Algebra. Zusätzlich liefert es Anleitungen, wesentliche Strategien und Techniken zu verstehen, einzuüben und zu reflektieren. Das Buch hat den Anspruch, die kompletten Lösungswege inklusive der Ideengewinnung und etwaiger Alternativen darzustellen. Im Übungsteil wird das Hin- und Herschalten zwischen komprimierten und ausführlichen Musterlösungen geschult. In der vorliegenden Neuauflage wurde ein Kapitel mit Musterlösungen eingefügt, die sich mit Grundlagen mathematischen Arbeitens beschäftigen.Table of ContentsLerntheoretische Grundlagen.- Teilprozesse beim Aufgabenlösen.- Musterlösungen zu mathematischen Grundlagen.- Musterlösungen aus der Analysis 1.- Musterlösungen aus der Analysis 2.- Musterlösungen aus der Linearen Algebra 1.- Musterlösungen aus der Linearen Algebra 2.- Verfassen ausführlicher Musterlösungen.- Lösungsvorschläge.

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Book SynopsisWissen Sie schon alles über Zahlen? Es gibt gerade, krumme, gebrochene, aber wie viele? Und rechnen Sie immer richtig? Eine jährliche Inflationsrate von 3 Prozent ergibt nach 20 Jahren eine Preissteigerung von 60 Prozent – oder sind es 75 Prozent? Schon Ihre Vorfahren vor 10.000 Jahren hatten bereits das Denken gelernt. Deswegen beschäftigen sie sich in diesen vergnüglichen Geschichten mit grundlegenden mathematischen Kenntnissen: mit Zahlen und Mengen, dem Rechnen und mathematischen Symbolen, Potenzen und ihren Umkehrungen (den Logarithmen), Klammern und Wurzeln, Zinsen und Prozenten, einfachen Gleichungen und ihrer Manipulation und schließlich mit tiefsinnigen Fragen um die Extreme: die Null und das Unendliche.Table of Contents​Zahlen und Mengen.- Rechnen und Symbole.- Potenzen und Wurzeln.- Zinsen und Prozente.- Gleichungen und ihre Manipulation.- Die Null und das Unendliche: die Extreme.

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Book SynopsisEin Buch zum Aufspüren von Fehlerquellen, insbesondere für Studienanfänger, die gelegentlich glauben, an der Mathematik verzweifeln zu müssen. Dieser Text zur Festigung der „Kalkülfertigkeiten“ geht auf die Anfangsschwierigkeiten von Studierenden im Umgang mit Termen, Gleichungen und algebraischen Operationen ein und ist eine ideale Grundlage für das Auffrischen des Schulwissens in Ergänzung zu den mathematischen Vorkursen. Anhand der Beschreibung häufig auftretender Fehler lernen die Studierenden, eigene Fehlerquellen selbst zu entdecken. So können sie ein besseres Verständnis für ihre Probleme entwickeln und diese relativieren. Jeder Fehler ist nicht so schlimm, wenn man versteht, warum es ein Fehler ist.Trade Review“… ist sehr gut geeignet weitverbreitete mathematische Schwächen aus der Mittelschule vieler Studienanfänger zu beseitigen, indem man typische Fehler durch aussagekräftige Gegenbeispiele aufzeigt bei gleichzeitiger Bewußtmachung gegen welche Grundregel man dabei verstoßen hat. Daraus eröffnet sich auch ein besseres Verständnis für die Probleme.” (H. Rindler, in: Monatshefte für Mathematik, Jg. 180, 2016, S. 913)Table of ContentsEinleitung.- Darstellungsmethode, Hinweise zum Gebrauch, Abkürzungen.- Grundregeln für das Rechnen mit reellen Zahlen, Axiome und Konventionen.- Elementarregeln für das algebraische Rechnen mit linearen Termen und Bruchtermen.- Bemerkungen zur Zahl NULL.- Potenzen und Wurzeln.- Logarithmen.- Gleichungen.- Ungleichungen.- Was es sonst noch so alles an Fehlerfallen gibt.- Literaturverzeichnis.- Formelsammlung.

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Book SynopsisFunktionen und Koordinatensysteme spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle – und im täglichen Leben auch. Meist merken wir es gar nicht oder sind uns über die mathematischen Hintergründe von Grafiken gar nicht klar, die wir in den Medien sehen. Deswegen werden in diesem Essential die Grundlagen dieser bedeutenden Werkzeuge des Denkens dargestellt und ihre Verwendung illustriert. Da dazu auch ihr Missbrauch gehört, wird auch das Thema „Lügen mit Grafiken“ behandelt: falsche Maßstäbe, Unterdrückung des Nullpunkts, unsinnige Extrapolationen und schließlich Fehler in den Zahlen selbst.Table of ContentsKartesische Koordinaten.- Kurven und ihre Aussagen.- Zeitabhängigkeiten.- Natürliches Wachsen und Schrumpfen: die Exponentialfunktion.- Das Koordinatensystem der „komplexen“ Zahlen.- Quadratische und höhere Gleichung.- Grafiken und ihre (vermeintliche) Aussage.

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Book SynopsisJürgen Beetz führt zuerst in den Ursprung der erdachten Geschichten der Mathematik aus der Steinzeit ein. Im Anschluss daran stellt er die zentrale Fragestellung der „Infinitesimalrechnung“ anhand eines einfachen Beispiels dar. Dann erläutert der Autor die Grundproblematik des Differenzierens: die Steigung (d. h. die Richtung der Tangente) an einer beliebigen Stelle einer Funktion y=f(x) festzustellen. Als praktische Beispiele des Differenzierens behandelt er die Hyperbel und die Sinusfunktion. Ein eigenes Kapitel widmet Jürgen Beetz den Besonderheiten der Exponentialfunktion.Table of ContentsDas Maß für Veränderung.- Die Praxis der Differentialrechnung.- Die Exponentialfunktion beweist ihre königliche Eigenschaft.

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Book SynopsisIn diesem Buch geht es um den AKS-Algorithmus, den ersten deterministischen Primzahltest mit polynomieller Laufzeit. Er wurde benannt nach den Informatikern Agrawal, Kayal und Saxena, die ihn 2002 entwickelt haben. Primzahlen sind Gegenstand vieler mathematischer Probleme und spielen im Zusammenhang mit Verschlüsselungsmethoden eine wichtige Rolle. Das vorliegende Buch leitet den AKS-ALgorithmus in verständlicher Art und Weise her, ohne wesentliche Vorkenntnisse zu benötigen, und ist daher bereits für interessierte Gymnasialschüler(innen) zugänglich. Außerdem eignet sich das Buch von Studienbeginn an für Lehrveranstaltungen im Mathematik- oder Informatikstudium. Es kann schon in den ersten Semestern als Grundlage für zweistündige Vorlesungen oder (Pro-)Seminare dienen, ohne auf andere Lehrveranstaltungen (wie z. B. Zahlentheorie) zurückzugreifen, und ist daher im Bachelor- und Lehramtsstudium gut einsetzbar. Es gibt viele Aufgaben und weiterführende Anmerkungen sowie Lösungshinweise am Ende des Buches. Table of ContentsNatürliche Zahlen und Primzahlen.- Algorithmen und Komplexität.- Zahlentheoretische Grundlagen.- Primzahlen und Kryptographie.- Der Ausgangspunkt: Fermat für Polynome.- Der Satz von Agrawal, Kayal und Saxena.- Der Algorithmus.- Offene Fragen über Primzahlen.- Lösungen und Hinweise zu wichtigen Aufgaben.

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Book SynopsisDieses Buch über Permutationsgruppen bietet neben modernen Beweisen klassischer Ergebnisse, die bislang nicht in Buchform erschienen sind, einen Zugang zur Klassifikation der primitiven Gruppen. Symmetriebetrachtungen von geometrischen Objekten spielen in vielen Naturwissenschaften eine bedeutende Rolle und lassen sich mathematisch durch Permutationsgruppen modellieren. Nachdem wir in diesem Buch eine beliebige Permutationsgruppe in ihre primitiven Bestandteile zerlegt haben, beweisen wir den wichtigen Klassifikationssatz von Aschbacher-O'Nan-Scott, wonach jede primitive Gruppe zu genau einer von fünf Familien gehört. Dieses Resultat erlaubt es zum Beispiel die 2-transitiven Gruppen explizit anzugeben, sodass wir uns im Folgenden auf die primitiven Gruppen, die nicht 2-transitiv sind, konzentrieren können. Die hierfür entwickelte Theorie der Subgrade ermöglicht uns als Anwendung einen Spezialfall des Satzes von Feit-Thompson zu beweisen. Neben zahlreichen Informationen über aktuelle Entwicklungen stehen dem Studierenden über 100 Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen zur Selbstkontrolle zur Verfügung. Vorausgesetzt werden lediglich Kenntnisse einer Algebra-Vorlesung, wobei wir die Grundlagen der elementaren Gruppentheorie im ersten Kapitel wiederholen. Abgerundet wird das Werk durch einen Anhang mit alternativen Beweisen und Quellcodes für die Computeralgebrasysteme GAP und MAGMA.Table of ContentsGrundlagen.- Operationen auf Mengen.- Abelsche Normalteiler in primitiven Gruppen.- Mehrfach transitive Gruppen.- Konstruktion primitiver Gruppen mit vorgegebenem Sockel.- Klassifikation der primitiven Gruppen.- p-Elemente in primitiven Gruppen.- Transitive Gruppen mit Primzahlgrad.- Subgrade.- Operationen auf Gruppen.- Gruppen ungerader Ordnung.- Rubiks Zauberwürfel.- Anhang.- Lösungen der Aufgaben.

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Book SynopsisRenate Motzer führt in die Welt der Brüche ein und bringt sie in Verbindung mit Dezimalzahlen. Sie zeigt anschaulich, dass Brüche als Anteile eines Ganzen verstanden werden können, aber auch als Verhältnisse von zwei Größen. Die Autorin zeigt verständlich auf, warum Wurzeln nicht exakt durch Brüche angegeben werden können, wie man gute Näherungen findet und warum eine ungewöhnliche Bruchaddition zu paradoxen Ergebnissen führen kann. Weiterhin erläutert sie praxisnah die Anwendung von Brüchen beim Prozentrechnen und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und geht schließlich auf verschiedene Möglichkeiten ein, Mittelwerte zu bilden.Table of ContentsWas sind (gewöhnliche) Brüche?.- Brüche als Verhältnisse.- Irrationale Zahlen.- Bedingte Wahrscheinlichkeiten.

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Book SynopsisSie haben sich entschieden, Mathematik zu unterrichten - egal, ob in der Grundschule, der Mittelstufe oder der gymnasialen Oberstufe? In einem Hochschulstudium lernen Sie, welche Denk- und Arbeitsweisen für die Mathematik als Wissenschaft typisch sind und welche Sprache die Mathematik entwickelt hat, um Muster und Strukturen in der konkreten und abstrakten Welt zu beschreiben. Dabei begegnen Sie immer wieder denselben universellen Strukturen, die in der Mathematik als „Gruppen“, „Ringe“ oder „Körper“ beschrieben werden.In diesem Buch lernen Sie, wie diese Ideen moderner Mathematik mit den mathematischen Konzepten aus der Schule zusammenhängen. Sie erleben, wie durch mathematische Abstraktion das Gemeinsame aus den Inhaltsbereichen der Schule, aus Arithmetik, Kombinatorik, Geometrie und Gleichungsalgebra hervortritt.Sie lernen keine trockenen Fakten, sondern verstehen Hintergründe und bauen Brücken von der Schulmathematik zur modernen Mathematik. Sie werden eingeladen zu einer mathematischen Entdeckungsreise und zur selbstständigen Erforschung mathematischer Strukturen. In leicht zugänglichen Texten können Sie Ihre Erfahrungen dann reflektieren und zu einem fundierten und systematischen Wissen über die Kernideen der Algebra ausbauen.Table of ContentsMuster und Strukturen – Anlässe zum Rechnen (nicht nur mit Zahlen).- Drehen und Wenden - Strukturen geometrischer Symmetrien.- Addieren und Multiplizieren - Arithmetische Strukturen in kleinen Welten.- Tauschen – Mit Permutationen rechnen und Probleme lösen.- Operationen sortieren – Ein universelles Konzept für viele Situationen.- Räumlich multiplizieren – Operationen und Zahlen mit Koordinaten beschreiben.- Gleichungen lösen - Neue Zahlen bei der Suche nach dem Unbekannten.- Zahlenräume erweitern – Addieren und Multiplizieren im Einklang.- Gleichungen durchschauen - Die Symmetrie einer Gleichung.

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Book SynopsisThis book explores the theory and application of locally nilpotent derivations, a subject motivated by questions in affine algebraic geometry and having fundamental connections to areas such as commutative algebra, representation theory, Lie algebras and differential equations. The author provides a unified treatment of the subject, beginning with 16 First Principles on which the theory is based. These are used to establish classical results, such as Rentschler's Theorem for the plane and the Cancellation Theorem for Curves.More recent results, such as Makar-Limanov's theorem for locally nilpotent derivations of polynomial rings, are also discussed. Topics of special interest include progress in classifying additive actions on three-dimensional affine space, finiteness questions (Hilbert's 14th Problem), algorithms, the Makar-Limanov invariant, and connections to the Cancellation Problem and the Embedding Problem.A lot of new material is included in this expanded second edition, such as canonical factorization of quotient morphisms, and a more extended treatment of linear actions. The reader will also find a wealth of examples and open problems and an updated resource for future investigations.Table of ContentsIntroduction.- 1 First Principles.- 2 Further Properties of LNDs.- 3 Polynomial Rings.- 4 Dimension Two.- 5 Dimension Three.- 6 Linear Actions of Unipotent Groups.- 7 Non-Finitely Generated Kernels.- 8 Algorithms.- 9 Makar-Limanov and Derksen Invariants.- 10 Slices, Embeddings and Cancellation.- 11 Epilogue.- References.- Index.

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Book SynopsisThis book introduces a new geometric vision of continued fractions. It covers several applications to questions related to such areas as Diophantine approximation, algebraic number theory, and toric geometry. The second edition now includes a geometric approach to Gauss Reduction Theory, classification of integer regular polygons and some further new subjects.Traditionally a subject of number theory, continued fractions appear in dynamical systems, algebraic geometry, topology, and even celestial mechanics. The rise of computational geometry has resulted in renewed interest in multidimensional generalizations of continued fractions. Numerous classical theorems have been extended to the multidimensional case, casting light on phenomena in diverse areas of mathematics.The reader will find an overview of current progress in the geometric theory of multidimensional continued fractions accompanied by currently open problems. Whenever possible, we illustrate geometric constructions with figures and examples. Each chapter has exercises useful for undergraduate or graduate courses.Trade Review“There are a modest number of exercises at the end of each chapter; most of these are to work out specific numerical examples. I view this as a monograph on a very specialized subject rather than a textbook.” (Allen Stenger, MAA Reviews, October 30, 2022)Table of ContentsPart 1. Regular continued fractions: Chapter 1. Classical notions and definitions.- Chapter 2. On integer geometry.- Chapter 3. Geometry of regular continued fractions.- Chapter 4. Complete invariant of integer angles.- Chapter 5. Integer trigonometry for integer angles.- Chapter 6. Integer angles of integer triangles.- Chapter 7. Quadratic forms and Makov spectrum..- Chapter 8. Geometric continued fractions.- Chapter 9. Continuant representation of GL(2,Z) Matrices.- Chapter 10. Semigroup of Reduced Matrices.- Chapter 11. Elements of Gauss reduction theory.- Chapter 12. Lagrange’s theorem.- Gauss-Kuzmin statistics.- Chapter 14. Geometric aspects of approximation.- Chapter 15. Geometry of continued fractions with real elements and Kepler’s second law.- Chapter 16. Extended integer angles and their summation.- Chapter 17. Integer angles of polygons and global relations for toric singularities.- Part II. Multidimensional continued fractions.- Chapter 18. Basic notations and definitions of multidimensional integer geometry.- Chapter 19. On empty simplices, pyramids, parallelepipeds.- Chapter 20. Multidimensional continued fractions in the sense of Klein.- Chapter 21. Dirichlet groups and lattice reduction.- Chapter 22. Periodicity of Klein polyhedral. Generalization of Lagrange’s Theorem.- Chapter 23. Multidimensional Gauss-Kuzmin Statistics.- Chapter 24. On the construction of multidimensional continued fractions.- Chapter 25. Gauss reduction in higher dimensions. Chapter 26. Approximation of maximal commutative subgroups.- Capter 27. Other generalizations of continued fractions. References. Index.

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Book SynopsisDieses Buch beleuchtet gängige Themenbereiche der höheren Mathematik nahezu ausschließlich anhand zahlreicher kreativer Beispiele.An wen richtet sich dieses Buch?Neben technisch orientierten Studiengängen profitieren in besonderer Weise Lehramtsstudierende und Studierende des Faches Mathematik wegen der beispielorientierten Aufbereitung anspruchsvoller Themenbereiche.Table of ContentsVorbetrachtungen und Grundlagen.- Folgen und Reihen.- Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen.- Differentialrechnung.- Lineare Algebra.- Integration.

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Book Synopsis1. Fundamentals .- 2. Sets and Counting .- 3. Numbers and their Representations .- 4. Relations.- 5. Mappings.- 6. Graphs.- 7. Groupoid, Semigroup, Group.- 8. From Semirings to Fields.- 9. Act, Vector Space, Extension.- 10 Rings and Modules. 11 Matroids.- 12 Categories.- Literature.- Symbols.- Index.

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Book SynopsisDas Lehrbuch diskutiert gängige Fragen der Analysis und linearen Algebra und verwendet für die rechnergestützten Antworten die Software Matlab und Mathematica. Es stellt mathematische Standard-Algorithmen im Detail vor und zeigt deren Umsetzung in die Programme. Zusätzlich erläutert es, wie deren Funktionen Probleme lösen. Die Inhalte sind nach Datentypen (Polynome, reelle Funktionen, Matrizen) gegliedert. Im Vordergrund: die Objekte am Rechner, Grundoperationen an diesen Objekten und typische Fragen. Mit Algorithmen in Pseudocode. Plus zum Download: Programme für Mathematica und Matlab, alle Beispiele, Grafiken, interaktive Elemente.Trade ReviewFrom the reviews:“Algorithmic methods are useful tools for solving technical, scientific, or industrial problems. … This book for students in the first or second year presents the basic knowledge necessary for applying the methods to different problems. … The presentation is given in mathematical rigorous style and no further reading … to be required to read the text or design a course. … underlying course was designed for students of technical mathematics, but is as well suited for computer science students in the area of scientific computing.” (Thomas Rauber, Zentralblatt MATH, Vol. 1181, 2010)Table of ContentsEinleitung.- I. Grundbegriffe und Grundfragen einer algorithmischen Mathematik:1. Probleme, Lösungen und Algorithmen.- 2 Einführende Beispiele zur algorithmischen Lösung am Computer.- 3. Kondition eines Problems.- 4. Eigenschaften von Algorithmen.- II. Zahlbereiche: 5. Natürliche und ganze Zahlen.- 6. Kongruenzklassen modulo m.- 7. Rationale Zahlen.- 8. Reelle Zahlen.- III. Vektoren: 9. Mathematische Grundlagen.- 10. Vektoren am Computer.- 11. Euklidsches Skalarprodukt in Rm.- 12. Orthonormalisierung in Rm.- IV. Univariate Polynome: 13. Mathematische Grundlagen.- 14. Polynome am Computer.- 15. Polynomdivision und größter gemeinsamer Teiler.- 16. Polynomauswertung in R.- 17. Polynominterpolation in R.

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Book SynopsisIm heutigen Informationszeitalter werden ständig riesige Mengen digitaler Daten über verschiedene Kanäle übertragen. Codierungstheorie und Kryptographie sind Instrumente, um zentrale Probleme der Datenübertragung wie Übertragungsfehler und Datensicherheit zu lösen. Das Buch führt in die aktuellen Methoden der Codierungstheorie und Kryptographie ein und vermittelt notwendige Grundlagen der Algebra und der Algorithmen. Dabei werden LDPC-Codes und der AKS-Algorithmus ausführlich dargestellt. Der Anhang bietet zahlreiche Übungsaufgaben.Table of ContentsVorwort.- Einleitung.- I. Codierungstheorie: 1 Grundbegriffe und Beispiele.- 2 Lineare Codes.- 3 Der CD-Spieler.- 4 LDPC-Codes.- 5 Duale Codes.- 6 Gewichtspolynome und Decodierfehler.- 7 Zyklische Codes.- 8 Schranken und Lineare Optimierung.- 9 Decodierung von BCH-Codes.- II. Kryptographie: 10 Grundbegriffe und Sicherheit.- 11 Symmetrische Verfahren - die AES-Chiffrierung.- 12 Public-Key-Kryptographie.- 13 Signaturen.- 14 Hash-Funktionen.- 15 Elliptische Kurven.- 16 Der Diskrete Logarithmus.- 17 Der AKS-Algorithmus.- 18 Wahrscheinlichkeitstheoretische Primzahltests.- 19 Faktorisierung ganzer Zahlen.- Anhang: 20 Gruppen.- 21 Zahlen.- 22 Körper.- 23 Komplexität von Algorithmen.- Lösungen ausgewählter Aufgaben.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.

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Book SynopsisHöchst lebendig geschrieben und überzeugend dargestellt führt dieses Werk Studierende der Mathematik in die klassische Algebra ein. Zum Verständnis genügen Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Linearen Algebra. Herzstück ist die Galoistheorie mit ihren verschiedenen Verzweigungen und Anwendungen. Ausgehend von den klassischen Fragen der geometrischen Konstruierbarkeit spannt sich der Bogen bis zur Auflösbarkeit von algebraischen Gleichungen. Themen wie das Quadratische Reziprozitätsgesetz, transzendente Körpererweiterungen und der Hilbertsche Nullstellensatz runden das Werk ab. Für die vorliegende 4.Auflage wurde der Text vollständig durchgesehen und an etlichen Stellen erweitert. Zusätzlich zu den vertiefenden Aufgaben wurden einfacher zu lösende Übungen (mit Lösungen auf www.elsevier.de) aufgenommen, die der Einübung und dem Verständnis des Stoffes dienen. Das Lehrbuch eignet sich ebenso zur Vorlesungsbegleitung wie zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung.Table of Contents1. Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 2. Algebraische Körpererweiterungen 3. Einfache Körpererweiterungen 4. Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre 5. Primzerlegung in Polynomringen 6. Zerfällungskörper von Polynomen 7. Separabilität 8. Galoissche Körpererweiterungen 9. Endliche Körper, Einheitswurzeln 10. Operationen von Gruppen 11. Anwendungen der Galoisschen Theorie 12. Ergänzung der Galoisschen Theorie 13. Norm und Spur 14. Reine Gleichungen 15. Auflösbarkeit von Gleichungen 16. Ganzalgebraische Ringerweiterungen 17. Die Transzendenz von pi 18. Transzendente Körpererweiterungen 19. Hilbertscher Nullstellensatz A. Einige Begriffe aus den Grundvorlesungen A.1 Mengen A.2 Gruppen A.3 Körper A.4 Vektorräume A.5 Ringe A.6 Algebren A.7 R-Moduln und R-Algebren Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Namensverzeichnis Sachverzeichnis

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Book SynopsisZahlentheorie - Algebraische Strukturen - Kryptologie - Lineare Algebra - CodierungstheorieTrade Review"Studieren Sie gerade Informatik und möchten Sie ein guten studienbegleitendes Buch für die beim Programmieren relevante Mathematik? Dann sind Sie hier goldrichtig. [...] gerade da es ohne zu viel Schnickschnack auf den Punkt kommt, eines der besten deutschsprachigen Bücher zum Thema." WCM - Das Computermagazin für Österreich, 07/2007 "Fazit: Ein Grundlagenbuch, dem es gelingt, das alltägliche Handwerkzeug des Informatikers kompakt zu vermitteln." literaturtest.de 25.04.02Table of ContentsAlgebraische Strukturen: Halbgruppen und Monoide - Gruppen - Ringe, Körper und Integritätsbereiche Einführung in die Zahlentheorie: Teilbarkeit, Irreduzibilität und prime Elemente - Teilbarkeit ganzer Zahlen - Teilbarkeit von Polynomen - Kongruenzgleichungen - Die Eulersche phi-Funktion - Primzahltests - Primitivwurzeln und diskrete Logarithmen Einführung in die Kryptologie: Einfache Chiffriersysteme - Perfekte Sicherheit und One time pad-Verfahren - Public key-Systeme Lineare Algebra: Vektorräume - Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Einführung in die Codierungstheorie: Einfache Codes - Perfekte Codes - Präfixcodes - Information, Entropie und Sätze von Shannon - Prüfzeichencodierung - Zyklische Codes

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Book SynopsisComputeralgebra- Systeme wie MAPLE gehören heute zum Alltag aller, die Mathematik in Schule, Wirtschaft und Hochschule anwenden. Gleichzeitig bieten sie die Möglichkeit, in ganz anderer Weise Beispiele zu untersuchen und zu veranschaulichen, als dies mit Bleistift und Papier möglich ist. Neben einer Einführung in MAPLE hat dieses Buch zum Ziel, durch die Behandlung von Beispielen den Stoff des ersten Studienjahres, wie er in den Vorlesungen zur Analysis und Linearen Algebra behandelt wird, zu vertiefen und zu veranschaulichen. Es besteht aus Aufgaben mit Erläuterungen, anhand derer der Leser den Stoff eigenständig durcharbeiten soll. Mathematische Anwendersysteme als berufsbildende Kompetenz in der Bachelor-Ausbildung: Das Buch eignet sich für ein Modul aufbauend auf den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra. Materialien zu diesem Buch für das E-Learning System OKUSON werden für Dozenten unter OnlinePLUS bereitgestellt.Table of ContentsEinführung in MAPLE - Erste Beispiele und Aufgaben - Elementare Operationen mit Matrizen und Vektoren - Das Gauß-Verfahren und die Cramersche Regel - Diagonalisierbarkeit komplexer Matrizen - Matrizen mit positiven Einträgen - Reelle Funktionen einer Variablen - Taylor-Entwicklung - Reelle Funktionen von mehreren Variablen - Quadratische Gleichungen und Quadriken - Hermite-Polynome und Fourier-Reihen - Normalformen - Gewöhnliche Differentialgleichungen - Lösungen

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Book Synopsis"Optimierung" ist ein grundlegender Vorlesungszyklus in der angewandten Mathematik. Es geht dabei um die genaue und schnelle Berechnung der besten Entscheidung, wenn eine große Menge von Entscheidungsmöglichkeiten zur Auswahl steht. Mit diesem Buch liegt eine Sammlung von Übungs- und Klausuraufgaben mit kompletten, mathematischen Lösungen vor, die in langjähriger Lehrtätigkeit zusammengetragen wurde. Eine umfassende Sammlung, die das Bachelorwissen abdeckt. Sie eignet sich als Übungsmaterial für Studierende und als Anregungs- und Auswahlfundus für Aufgabensteller. Die Aufgaben gehen direkt auf das Lehrniveau ein - kein Überspringen von Schwierigkeiten - und sind so aufbereitet, dass eine Erfolgskontrolle für die Studierenden möglich ist. Ergänzendes Lehrmaterial findet der Studierende im OnlinePLUS-Service des Verlages.Trade Review"Die vorliegende Aufgabensammlung ist umfangreich, das gesamte Themenfeld ist umfassend, sehr übersichtlich und perfekt an die Ansprüche des Studiums angepasst. Man kann an jeder Stelle des Buches einsteigen und findet sich sofort zurecht. Es eignet sich damit prima für Studenten, die Vorlesungsstoff aufarbeiten und sich auf Prüfungen vorbereiten möchten. Aber auch für Dozenten ist das Werk eine wertvolle Hilfe bei der Erstellung von Übungszetteln und Klausuren." www.math.uni-rostock/rho, 08.06.2010Table of ContentsAufgaben, Hinweise, Lösungen zu den Themen: Lineare Optimierung (Polyeder und Simplexverfahren) - Ganzzahlige Optimierung (Branch & Bound und Schnittebenenverfahren) - Nichtlineare Optimierung (Analyse und Theorie) - Elementare Kombinatorische Optimierung (Kürzeste Wege und Routenplanung)

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Book SynopsisDieses Lehrbuch bietet einen fundierten Überblick über manche klassische hin zu modernen bis zu brandaktuellen kryptografischen Verfahren. Die Voraussetzungen, die ein Leser mitbringen sollte, konzentrieren sich auf wenige Inhalte der linearen Algebra und Analysis, die im ersten Studienjahr vermittelt werden. Das Buch umfasst im Wesentlichen einen Themenkreis, der in einer vierstündigen Vorlesung angesprochen werden kann. Es zeichnet sich durch mathematische Präzision, zahlreiche Beispiele und viele Algorithmen aus. Bei den Algorithmen wird eine verständliche Darstellung bevorzugt, die die Prinzipien klar und leicht nachvollziehbar macht. Wegen der ausführlichen Erklärungen kann das Buch auch zum Selbststudium empfohlen werden. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Die Leser werden so Schritt für Schritt von den Anfängen der Kryptologie in der Antike hin zu modernen Verfahren im Internetzeitalter geführt.Trade Review"[Das Buch] ist [...] ein gelungenes, empfehlenswertes Stück in der großen Auswahl an Büchern zur Kryptologie." www.math.uni-rostock.de/rho, 08.06.2010Table of ContentsKlassische Verfahren - Das One-Time-Pad und perfekte Sicherheit - Block-Chiffren: AES und DES - Komplexität und Einwegfunktionen - Symmetrische Authentifikation - Exponentiationschiffren - Das RSA-Verfahren - Primzahltests - Das Verfahren von Diffie-Hellmann, ElGamal und Rabin - Diskrete Logarithmen - Faktorisierung - Signaturverfahren - Elliptische Kurven - Anwendungen elliptischer Kurven in der Kryptologie

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Book SynopsisDas Buch richtet sich an alle Bachelor-Studierenden und Lehramts-Bachelor-Studierenden mit Fach Mathematik, die den Stoff der wichtigsten Grundvorlesungen durch Fragen und gegebene Antworten überprüfen, auffrischen und ergänzen wollen. Dabei wird hier besonderer Wert auf Begriffsbildungen, Zusammenhänge und Beispiele gelegt. Über 300 vollständig gelöste Klausur-Aufgaben ermöglichen zusätzlich eine gezielte Vorbereitung auf schriftliche Modulprüfungen/Klausuren.Table of Contents- Lineare Algebra I, II - Analysis I, II - Wahrscheinlichkeitstheorie - Computerorientierte Mathematik/Numerik - Elementargeometrie - Einführung in die Algebra/Zahlentheorie - Lösungen der Aufgaben

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Book SynopsisEine kombinierte Einführung in die Algebra bis zur Galoistheorie und ihren klassischen Anwendungen sowie in die Zahlentheorie: Dabei profitiert die Algebra von den Motivationen und dem reichen Beispielmaterial der Zahlentheorie; letztere gewinnt an Klarheit und Kürze durch Strukturen und Sätze der Algebra. Es wird solides Grundwissen für beide Gebiete vermittelt und gleichzeitig die Brücke zu neuesten Entwicklungen geschlagen (z. B. diophantische Probleme, Faktorisierungsmethoden, inverses Problem der Galoistheorie). Die Neuauflage enthält neben Korrekturen und Aktualisierungen Lösungshinweise zu den Aufgaben. Neu ist ein umfangreiches Kapitel über Gitter, die Brücke zur Algebraischen Zahlentheorie und zu vielen Anwendungen von Algebra und Zahlentheorie in der Diskreten Mathematik.Table of ContentsGanze Zahlen - Teilbarkeit - Gruppen - Ringe - Arithmetik modulo n - Primzahltests und Primfaktorzerlegung - Körper und Körpererweiterungen - Galoistheorie - Gitter

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Book SynopsisThis book and the following second volume is an introduction into modern algebraic geometry. In the first volume the methods of homological algebra, theory of sheaves, and sheaf cohomology are developed. These methods are indispensable for modern algebraic geometry, but they are also fundamental for other branches of mathematics and of great interest in their own. In the last chapter of volume I these concepts are applied to the theory of compact Riemann surfaces. In this chapter the author makes clear how influential the ideas of Abel, Riemann and Jacobi were and that many of the modern methods have been anticipated by them. For this second edition the text was completely revised and corrected. The author also added a short section on moduli of elliptic curves with N-level structures. This new paragraph anticipates some of the techniques of volume II.Trade Review"No doubt, the great lucidity of exposition, the masterly style of writing, the broad spectrum of topics touched upon, and the purposeful, very special disposition of the subject matter make this text, together with its expected companion book(s), a very particular and outstanding enrichment of the existing textbook literature in algebraic geometry and its intimately related areas." Zentralblatt MATH Zbl 1129.14001Table of ContentsCategories, Products, Projective and Inductive Limits - Basic Concepts of Homological Algebra - Sheaves - Cohomology of Sheaves - Compact Riemann surfaces and Abelian Varieties

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Book SynopsisThis is a textbook meant to be used at the advanced undergraduate or graduate level. It is an introduction to the theory of Lie groups and Lie algebras. The book treats real and p-adic groups in a unified manner. The first chapter outlines preliminary material that is used in the rest of the book. The second chapter is on analytic functions and is of an elementary nature; this material is included to cater to students who may not be familiar with p-adic fields. The third chapter introduces analytic manifolds and contains standard material; the only notable feature being that it covers both real and p-adic analytic manifolds. Chapters 4 and 5 are on Lie groups. All the standard results on Lie groups are proved here. Some of the proofs are different from those in the earlier literature. The last two chapters are on Lie algebras and cover their structure theory as found in the first of the Bourbaki volumes on the subject. Some proofs here are new.

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Book SynopsisDefining and computing a greatest common divisor of two polynomials with inexact coefficients is a classical problem in symbolic-numeric computation. The first part of this book reviews the main results that have been proposed so far in the literature. As usual with polynomial computations, the polynomial GCD problem can be expressed in matrix form: the second part of the book focuses on this point of view and analyses the structure of the relevant matrices, such as Toeplitz, Toepliz-block and displacement structures. New algorithms for the computation of approximate polynomial GCD are presented, along with extensive numerical tests. The use of matrix structure allows, in particular, to lower the asymptotic computational cost from cubic to quadratic order with respect to polynomial degree.Table of Contentsi. Introduction.- ii. Notation.- 1. Approximate polynomial GCD.- 2. Structured and resultant matrices.- 3. The Euclidean algorithm.- 4. Matrix factorization and approximate GCDs.- 5. Optimization approach.- 6. New factorization-based methods.- 7. A fast GCD algorithm.- 8. Numerical tests.- 9. Generalizations and further work.- 10. Appendix A: Distances and norms.- 11. Appendix B: Special matrices.- 12. Bibliography.- 13. Index.

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Book SynopsisThe aim of this book is to give an introduction to what has come to be known as Standard Monomial Theory (SMT). SMT deals with the construction of nice bases of finite dimensional irreducible representations of semi-simple algebraic groups or, in geometric terms, nice bases of coordinate rings of flag varieties (and their Schubert subvarieties) associated to these groups. Besides its intrinsic interest, SMT has applications to the study of the geometry of Schubert varieties. SMT has its origin in the work of Hodge, giving bases of the coordinate rings of the Grassmannian and its Schubert subvarieties by ""standard monomials"". In its modern form, SMT was developed by the author in a series of papers written in collaboration with V. Lakshmibai and C. Musili.This book is a reproduction of a course of lectures given by the author in 1983-84 which appeared in the Brandeis Lecture Notes series. The aim of this course was to give an introduction to the series of papers by concentrating on the case of the full linear group. In recent years, there has been great progress in SMT due to the work of Peter Littelmann. Seshadri's course of lectures (reproduced in this book) remains an excellent introduction to SMT.In the second edition, Conjectures of a Standard Monomial Theory (SMT) for a general semi-simple (simply-connected) algebraic group, due to Lakshmibai, have been added as Appendix C. Many typographical errors have been corrected, and the bibliography has been revised.

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Book SynopsisThis volume contains the proceedings of the international colloquium organized by the Tata Institute of Fundamental Research in January 2016, one of a series of colloquia going back to 1956.The talks at the colloquium covered a wide spectrum of mathematics, ranging over algebraic geometry, topology, algebraic $K$-theory and number theory. Algebraic theory, $\mathbb{A}^1$-homotopy theory and topological $K$-theory formed important sub-streams in this colloquium. Several branches of $K$-theory, like algebraic cycles, triangulated categories of motives, motivic cohomology, motivic homotopy theory, Chow groups of varieties, Euler class theory, equivariant $K$-theory as well as classical $K$-theory have developed considerably in recent years, giving rise to newer directions to the subject as well as proving results of ``classical'' interest. The colloquium brought together experts in these various branches and their talks covered this wide spectrum, highlighting the interconnections and giving a better perspective of the whole subject area.This volume contains refereed articles by leading experts in these fields and includes original results as well as expository materials in these areas.

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Book SynopsisThe book offers a comprehensive introduction to Leavitt path algebras (LPAs) and graph C*-algebras. Highlighting their significant connection with classical K-theory—which plays an important role in mathematics and its related emerging fields—this book allows readers from diverse mathematical backgrounds to understand and appreciate these structures. The articles on LPAs are mostly of an expository nature and the ones dealing with K-theory provide new proofs and are accessible to interested students and beginners of the field. It is a useful resource for graduate students and researchers working in this field and related areas, such as C*-algebras and symbolic dynamics. Table of Contents​Chapter 1. Morita Equivalent Leavitt Path Algebras.- Chapter 2. A survey on the ideal structure of Leavitt path algebras.- Chapter 3. The injective and projective Leavitt complexes.- Chapter 4. Graph C*-algebras.- Chapter 5. Steinberg Algebras.- Chapter 6. Leavitt path algebras.- Chapter 7. Relating the principles of Quillen-Suslin theory.- Chapter 8. Action on Alternating matrices and Compound matrices.- Chapter 9. On the relative Quillen-Suslin Local Global Principle.- Chapter 10. On the non-injectivity of the Vaserstein symbol for real threefolds.- Chapter 11. The quotient Unimodular Vector group is nilpotent.- Chapter 12. Symplectic linearization of an alternating polynomial matrix.- Chapter 13. On a theorem of Suslin.- Chapter 14. On a group structure on unimodular rows of length three over a two dimensional ring.- Chapter 15. On an algebraic analogue of the Mayer-Vietoris sequence.- Chapter 16. On the completability of unimodular rows of length three.- Chapter 17. Sandwich classification for classical-like groups over commutative rings.- Chapter 18. A Survey on applications of K-theory in affine algebraic geometry.- Chapter 19. On the non-infectivity of the Vaserstein Symbol in dimension three.- Chapter 20. A survey on affine monoids and K-theory.- Chapter 21. A Survey on the elementary orthogonal groups.

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Book SynopsisThis textbook provides a readable account of the examples and fundamental results of groups from a theoretical and geometrical point of view. Topics on important examples of groups (like cyclic groups, permutation groups, group of arithmetical functions, matrix groups and linear groups), Lagrange’s theorem, normal subgroups, factor groups, derived subgroup, homomorphism, isomorphism and automorphism of groups have been discussed in depth. Covering all major topics, this book is targeted to undergraduate students of mathematics with no prerequisite knowledge of the discussed topics. Each section ends with a set of worked-out problems and supplementary exercises to challenge the knowledge and ability of the reader.Trade Review“Advanced school students and well-motivated undergraduates can profitably read it, and it is a very useful general reference for the history of substantial parts of mathematics, placed in the context of contemporary social and political events. … as a readable … and refreshingly detailed account of the whole sweep of ‘infinitesimal methods’ from antiquity to the 1990s, this book is highly recommended.” (Peter Giblin, The Mathematical Gazette, Vol. 107 (570), November, 2023)“Davvaz's book, on the other hand, features many excellent discussions of groups of matrices. Indeed, matrix groups are used not just as examples of groups, but to help clarify and add depth to Davvaz's discussion of other families of groups. … . It is also, in my opinion, the highlight of the book.” (Benjamin Linowitz, MAA Reviews, February 20, 2022)Table of ContentsPreliminaries Notions.- Symmetries of Shapes.- Binary Operations.- Cyclic Groups.- Inverse Functions and Permutations.- Group of Arithmetical Functions.- Matrix Groups.- Translation and Scaling Matrices.- Cosets of Subgroups and Lagrange’s Theorem.- Normal Subgroups and Factor Groups.- Some Special Subgroups.- Commutators and Derived Subgroups.- Maximal Subgroups.- Group Homomorphisms.- Homomorphisms and Their Properties.- Cayley’s Theorem.- Another View of Linear Groups.

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Book SynopsisThe purpose of this book is to explain linear algebra clearly for beginners. In doing so, the author states and explains somewhat advanced topics such as Hermitian products and Jordan normal forms. Starting from the definition of matrices, it is made clear with examples that matrices and matrix operation are abstractions of tables and operations of tables. The author also maintains that systems of linear equations are the starting point of linear algebra, and linear algebra and linear equations are closely connected. The solutions to systems of linear equations are found by solving matrix equations in the row-reduction of matrices, equivalent to the Gauss elimination method of solving systems of linear equations. The row-reductions play important roles in calculation in this book. To calculate row-reductions of matrices, the matrices are arranged vertically, which is seldom seen but is convenient for calculation. Regular matrices and determinants of matrices are defined and explained. Furthermore, the resultants of polynomials are discussed as an application of determinants. Next, abstract vector spaces over a field K are defined. In the book, however, mainly vector spaces are considered over the real number field and the complex number field, in case readers are not familiar with abstract fields. Linear mappings and linear transformations of vector spaces and representation matrices of linear mappings are defined, and the characteristic polynomials and minimal polynomials are explained. The diagonalizations of linear transformations and square matrices are discussed, and inner products are defined on vector spaces over the real number field. Real symmetric matrices are considered as well, with discussion of quadratic forms. Next, there are definitions of Hermitian inner products. Hermitian transformations, unitary transformations, normal transformations and the spectral resolution of normal transformations and matrices are explained. The book ends with Jordan normal forms. It is shown that any transformations of vector spaces over the complex number field have matrices of Jordan normal forms as representation matrices.Table of ContentsPreface.- 1. Matrices.- 2. Linear Equations.- 3. Determinants.- 4. Vector Spaces.- 5. Linear Mappings.- 6. Inner Product Spaces.- 7. Hermitian Inner Product Spaces.- 8. Jordan Normal Forms.-Notation.- Answers to Exercises.- References.- Index of Theorems.- Index.

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Book SynopsisThis book contains select papers on rings, monoids and module theory which are presented at the 3rd International Conference on Mathematics and Statistics (AUS-ICMS 2020) held at the American University of Sharjah, United Arab Emirates, from 6–9 February 2020. This conference was held in honour of the work of the distinguished algebraist Daniel D. Anderson. Many participants and colleagues from around the world felt it appropriate to acknowledge his broad and sweeping contributions to research in algebra by writing an edited volume in his honor. The topics covered are, inevitably, a cross-section of the vast expansion of modern algebra. The book is divided into two sections—surveys and recent research developments—with each section hopefully offering symbiotic utility to the reader. The book contains a balanced mix of survey papers, which will enable expert and non-expert alike to get a good overview of developments across a range of areas of algebra. The book is expected to be of interest to both beginning graduate students and experienced researchers. Table of ContentsDavid F. Anderson, Dan Anderson and his Mathematics.- David F. Anderson, F. GOTTI, Bounded and Finite Factorization Domains.- A.A. ALTIDOR, H.E. BRUCH, J.R. JUETT, Factorization and Irreducibility in Modules.- M. ZAFRULLAH, On *-Potent Domains and *-Homogeneous Ideals.- M. GOTTI, M. M. TIRADOR, On the Set of Molecules of Numerical and Puiseux Monoids.- D. E. DOBBS, Where Some Inert Minimal Ring Extensions of A Commutative Ring Come From, II.- E. Abuosba and M. Ghanem, A Survey on EM Conditions.- David F. Anderson, Some Remarks on the D + M Construction.- Roy O. Quintero Contreras, On a Problem about Lowest Terms Domains Posed.- S. Kabbaj and F. Suwayyid, Regularity and Related properties in Tensor Products of Algebras over a Field.- L. KLINGLER, R. WIEGAND and S. WIEGAND, Tame-Wild Dichotomy for Commutative Noetherian Rings : A Survey.- H. ANDEZ-ESPIET, R.M. ORTIZ-ALBINO, On the Characterization of — Atoms.- D. D. ANDERSON, P. V. DANCHEV, Bounded Periodic Rings.- C. P. MOONEY, On Gracefully and Harmoniously Labeling Zero-Divisor Graphs.- T. ASIR, K. MANO, and M. SUBATHRA, A Survey on Genus of Selected Graphs from Commutative Rings.- DONG-IL LEE, A Computational Approach to Shephard Groups.- M. FARAG and R. P. TUCCI, BZS Near-Rings and Rings.

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Book SynopsisThis book focuses on research in linear algebra, statistics, matrices, graphs and their applications. Many chapters in the book feature new findings due to applications of matrix and graph methods. The book also discusses rediscoveries of the subject by using new methods. Dedicated to Prof. Calyampudi Radhakrishna Rao (C.R. Rao) who has completed 100 years of legendary life and continues to inspire us all and Prof. Arbind K. Lal who has sadly departed us too early, it has contributions from collaborators, students, colleagues and admirers of Professors Rao and Lal. With many chapters on generalized inverses, matrix analysis, matrices and graphs, applied probability and statistics, and the history of ancient mathematics, this book offers a diverse array of mathematical results, techniques and applications. The book promises to be especially rewarding for readers with an interest in the focus areas of applied linear algebra, probability and statistics.Table of ContentsChapter 1. On Some Matrix Versions of Covariance, Harmonic Mean and other Inequalities: An Overview.- Chapter 2. The Impact of Professor C. R. Rao's Research used in solving problems in Applied Probability.- Chapter 3. Upper ounds for the Euclidean distances between the BLUEs under the partitioned linear fixed model and the corresponding mixed model.- Chapter 4. Nucleolus Computation for some Structured TU Games via Graph Theory and Linear Algebra.- Chapter 5. From Linear System of Equations to Artificial Intelligence - The evolution Journey of Computer Tomographic Image Reconstruction Algorithms.- Chapter 6. Shapley Value and other Axiomatic Extensions to Shapley Value.- Chapter 7. An Accelerated Block Randomized Kaczmarz Methos.- Chapter 8. Nullity of Graphs - A Survey and Some New Results.- Chapter 9. Some Observations on Algebraic Connectivity of Graphs.- Chapter 10. Orthogonality for iadjoints f Operators.- Chapter 11. Permissible covariance structures for simultaneous retention of BLUEs in small and big linear models.- Chapter 12. On some Special Matrices and its Applications in Linear Complementarity Problem.- Chapter 3. On Nearest Matrix with Partially Specified Eigen Structure.- Chapter 14. Equality of BLUEs for Full, Small, and Intermediate Linear Models under Covariance Change, with links to Data Confidentiality and Encryption.-Chapter 15. Statistical Inference for Middle Censored Data with Applications. etc

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Book SynopsisThis book is a volume of the Springer Briefs in Mathematical Physics and serves as an introductory textbook on the theory of Macdonald polynomials. It is based on a series of online lectures given by the author at the Royal Institute of Technology (KTH), Stockholm, in February and March 2021. Macdonald polynomials are a class of symmetric orthogonal polynomials in many variables. They include important classes of special functions such as Schur functions and Hall–Littlewood polynomials and play important roles in various fields of mathematics and mathematical physics. After an overview of Schur functions, the author introduces Macdonald polynomials (of type A, in the GLn version) as eigenfunctions of a q-difference operator, called the Macdonald–Ruijsenaars operator, in the ring of symmetric polynomials. Starting from this definition, various remarkable properties of Macdonald polynomials are explained, such as orthogonality, evaluation formulas, and self-duality, with emphasis on the roles of commuting q-difference operators. The author also explains how Macdonald polynomials are formulated in the framework of affine Hecke algebras and q-Dunkl operators.Table of ContentsOverview of Macdonald polynomials.- Preliminaries on symmetric functions.- Schur functions.- Macdonald polynomials: Definition and examples.- Orthogonality and higher order q-difference operators.- Self-duality, Pieri formula and Cauchy formulas.- Littlewood–Richardson coefficients and branching coefficients.- Affine Hecke algebra and q-Dunkl operators (overview).

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