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Book SynopsisIst der Mathematik-Schein auch für Sie die größte Hürde im Studium? Dabei brauchen Sie als Informatiker solide mathematische Grundkenntnisse, um Algorithmen zu verstehen und mit Anwendern aus Naturwissenschaft und Technik auf Augenhöhe zu kommunizieren. Dieses Buch vermittelt Ihnen auf verständliche Weise und immer mit Querbezügen zur Informatik die mathematischen Grundlagen, die alle Informatiker benötigen: Aussagenlogik, Rekursion, Induktion, Relationen, Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und lineare Algebra. Keine Sorge: Es werden lediglich Schulkenntnisse in Mathematik vorausgesetzt.Table of ContentsÜber den Autor 9 Danksagungen 9 Einleitung 25 Über dieses Buch 25 Wen hatten wir bei diesem Buch besonders vor Augen 25 Durch welche Brille sehen wir also den Informatiker? 26 Und was bedeutet dies für uns? 26 Haben wir auch Nichtinformatiker als potenzielle Leser im Blick 27 Wie kann man dieses Buch lesen? 27 Welche Besonderheiten finden sich in unserem Buch 27 Auf welche weiteren (kleinen) Innovationen dürfen wir hinweisen? 28 Wann ist genug genug? 29 Und weitere Literatur ? 29 Kommunikation mit Autoren 30 Teil I: Natürliche Zahlen und Mengen – im Auge des Informatikers 31 Kapitel 1 Zahlen und ihre Logik 33 Was es über die Vielfalt der Zahlen zu sagen gibt 33 Zahlen zählen 34 Zahlen aufs Papier – und später auf den Rechner 35 Es darf auch etwas mehr sein – über die natürlichen Zahlen hinaus 36 Ganzzahlige Brüche – ein zweiter Nachschlag 37 Die Welt der rationalen Zahlen ist für Informatiker genug – Mathematiker sind weniger bescheiden 39 Komplexe Zahlen erweitern den Zahlenraum ein weiteres Mal 41 Blick auf die Gipfel: Hyperkomplexe Zahlen und Oktionen 44 Wir wissen nun, über was wir reden, wir wollen jetzt wissen, wie wir darüber reden 45 Prädikat – besonders wertvoll 45 (Mathematische) Wahrheit 46 Operatoren – Aus Zahlen werden Zahlen 47 Logische Operatoren – Schnittstellen zur Logik 48 Verrechnung von Wahrheitswerten 48 Junktoren 48 Wahrheitstabellen 49 Für den einen ist es duplo, für den anderen die längste Praline der Welt – zur Doppelrolle der Zahlen in der formalen Logik 49 Quantoren in der Logik – Prädikate erhalten durch sie ihre Power 52 Der Existenzquantor ∃ 53 Umsetzung des Existenzquantors in eine Schleife für Programmierer 53 Allquantor ∀ 54 Kapitel 2 Im Assembler-Code der Mathematik – Handreichungen für Ungläubige 57 Gehen wir zurück auf Los 57 Was passiert eigentlich beim Rechnen? 58 Wir bringen dem Computer das Rechnen bei 58 Wie sehen die nächsten Schritte aus? 59 Rekursion – Vorbereitungen für die Induktion 60 Induktion – mit Warp 10 durch alle Zahlen 62 Anwendungen der Induktion – Return on invest 63 Beweis des Assoziativgesetzes 64 Wir kennen die Zahlen vom Zählen her – können wir sie auch abstract charakterisieren? 65 Unendlich viele Zahlen auf einem endlichen Rechner? 66 Kapitel 3 Mengenlehre – im Maschinenraum der Mathematik 69 Mengenlehre – fängt man damit nicht immer an? 70 Die Sprache der Mengenlehre – Goethe wäre »not« 70 Erste Anforderungen an den Mengenbegriff 71 Mengentheoretische Operationen 72 Äquivalenz von Aussagen – Gleichheit von Mengen 74 Eigenschaften der Operationen ∪, ∩ und ∖ 74 Fallstricke und Sicherungen 76 Weitere mengentheoretische Operationen 77 Mengen als logische Bausteine für die Implementierung von Zahlen 80 Spezielle Realisierungen des Zählprozesses 80 Mengen – was kann man sich darunter vorstellen 83 Linux-Filesystem als Modell für ein Mengensystem 83 Infinite in all directions 85 Mengen für Datenbanker 86 Abstraktionen 87 Datenbanken? – Keep it simple and stupid 88 Nur für Theoretiker: Suchen, bis die Sterne verglühen 88 Wer hat Angst vor Graphen? 90 Urlemente – ein bisschen Medienbruch 92 Mengenlehre für »Informatiker mit der harten Kinnlade« 93 Prädikatenlogik mit einem einzigen Prädikat 93 Skolemisierung – oder wie destilliert man Operationen aus Aussagen 96 Teil II: Diskrete Strukturen 99 Kapitel 4 Spezielle Beziehungen – Äquivalenzen und Ordnungen 101 Äquivalenzrelationen – das Gleiche versus dasselbe 102 Äquivalenzrelation – die Erste 103 Äquivalenzrelation – die Zweite 108 Ordnungsrelationen – Ordnung in der mathematischen Welt 109 Geordnete Zahlen – die kleiner/gleich Beziehung 109 Verträglichkeiten 110 Teilbarkeit – auch eine Ordnung 111 Auch die Teilbarkeit ist relativ verträglich und pflegeleicht 111 Die mengentheoretische Inklusion – eine Ordnung für sich 112 Die Ordnungsbeziehungen – was haben sie gemein, was unterscheidet sie 112 Ordnungsbeziehungen und Grenzen 113 Graphen als Medium für die Darstellung partieller Ordnungen 114 Kapitel 5 Allgemeine Beziehungen und Beziehungskisten 117 Beziehungen als Tabellen 118 Inoffizielle Beziehungen 119 Realisierungen inoffizieller Beziehungen 120 Operieren mit Beziehungen 122 Jemanden kennen, der jemanden kennt, der Beziehungen hat 123 Spezialfälle: Verknüpfungen mit der inversen Beziehung 124 Verknüpfungen unterschiedlicher Relationen 125 Ausblick auf Relationen zwischen unterschiedlichen Mengen 126 Eindeutige Beziehungen – auf dem Weg zu Funktionen 127 Väter und Väter von Vätern 128 Funktionen und ihre allgemeinen Eigenschaften 129 Kapitel 6 Gruppen – es kann nicht nur eine geben 131 Über die Addition ganzer Zahlen 131 Beweis der Eindeutigkeit des neutralen Elements 132 Von den ganzen Zahlen zum allgemeinen Gruppenbegriff 132 Abstrakte kommutative Gruppen G 133 Nichtkommutative Gruppen 133 Beispiele von in der Natur auftretenden Gruppen – Symmetriegruppen 134 Gruppen und Faktorgruppen 139 Faktorgruppen der ganzen Zahlen 139 Allgemeine Gruppen und Faktorgruppen 141 Der Index einer Untergruppe H ⊂ G 142 Untergruppen endlicher Gruppen 143 Kapitel 7 Ringe und Körper 147 Überblick Ringe 148 Überblick Körper 149 Ein Rückblick auf die Teilbarkeit und die Primzahlen 149 ℤn als Restklassenring 151 Wohldefiniertheit der Operationen auf den Restklassen 151 Der Euklidische Algorithmus 152 Einheiten in ℤn 153 Eulersche 𝜑-Funktion 153 Return on Invest – das RSA Verfahren in der Kryptologie 154 Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren 155 Das RSA-Verfahren in der Theorie 155 Praktische Bemerkungen zum RSA-Verfahren 157 Kapitel 8 Graphentheorie 159 Zur Motivation 159 Das Haus vom Nikolaus 160 Gerichtete und ungerichtete Graphen 160 Zusammenhängende und unzusammenhängende Graphen 161 Schlingen und parallele Kanten, Nullgraph und einfacher Graph 162 Eckengrad 163 Algorithmische Eigenschaften des Eckengrads 164 Handshake-Lemma 164 Königsberger Brückenproblem 166 Eulergraph und Eigenschaften 167 Eulerkreis/Eulersche Touren 168 Adjazenzmatrix 168 Wann sind Graphen isomorph? – Adjazenzmatrizen 169 Alternative Tabellendarstellung – Inzidenzmatrizen 170 Bäume 171 Definition und Eigenschaften eines Baumes 171 Spannbaum 171 Definition von Wäldern 171 Wurzelbaum 172 Binärbäume 174 Suchbaum 175 Traversieren von Wurzelbäumen 175 Wie gehören Binärbäume und algebraische Ausdrücke zusammen? 176 Kürzeste Wege finden 177 Kruskal-Algorithmus 180 Prim-Algorithmus 180 Dijkstra-Algorithmus 181 Teil III: Analysis für Informatiker 183 Kapitel 9 Reelle Zahlen – der virtuelle Sprung in die Unendlichkeit 185 Irrationale Zahlen 185 √2 ist eine irrationale Zahl 186 Reelle Zahlen 187 Die Einführung der reellen Zahlen – für Informatiker eine kleine Revolution 188 Elementare Eigenschaften der reellen Zahlen 189 Abschätzungen, die Analysis lebt davon 191 Betragsfunktion und Dreiecksungleichung 191 Bernoullische Ungleichung 193 Der Umgebungsbegriff 194 Unendliche Folgen 194 Technische Definition der Konvergenz 196 Arbeiten mit der technischen Definition 196 Besondere Eigenschaften konvergenter Folgen 197 Hinreichende Konvergenzbedingungen beschränkter Folgen 198 Wichtige Spezialfälle: Die Folgen (1 + 1∕n)n und (1 + 1∕n)n+1 200 Rekursiv definierte Folgen 201 Häufungspunkte von Folgen 205 Grenzwertsätze für Folgen – Handreichungen für Klausuren 206 Beweis des ersten Grenzwertsatzes 206 Beispielhafte Folgerungen aus den Grenzwertsätzen 207 Mehr Werkzeuge zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens 209 Das Cauchysche Konvergenzkriterium 209 Grenzwerte unendlicher Reihen 210 Die harmonische Reihe 210 Begriffliche Einordnung der unendlichen Reihen 211 Cauchysche Konvergenzkriterium für unendliche Reihen 212 Einfache Beispiele unendlicher Reihen 212 Wurzel- und Quotientenkriterium – die wichtigsten Konvergenzkriterien für Reihen 213 Absolute Konvergenz 218 Die allgemeine binomische Formel 224 Die Fakultätsfunktion 224 Binomialkoeffizienten 225 Binomische Formel 226 Kapitel 10 Pflegeleichte Funktionen – Stetigkeit und Differenzierbarkeit 229 Grundsätzliche Bemerkungen 230 »Durchhalteparolen« für die Analysis 231 Der Grenzwertbegriff bei Funktionen 232 Konvergenz mithilfe des Umgebungsbegriffs 233 Konvergenz unter Rückgriff auf Folgenkonvergenz 233 Konvergenzsätze 235 Anwendung der Konvergenzsätze auf die Exponentialfunktion 236 Stetige Funktionen 239 Beispiel einer Funktion, die nur an einer Stelle stetig ist 240 Wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen 240 Differenzierbare Funktionen 243 Die Landau-Symbole o() und O() 243 Differenzierbarkeit via o(x) 244 Differenzierbarkeit via Differenzenquotient 245 Beide Definitionen der Differenzierbarkeit sind äquivalent 247 Rechenregeln für Ableitungen 249 Verträglichkeit der Differenzialquotienten mit der Summenbildung 249 Produktregel 249 Quotientenregel 250 Kettenregel 251 Wichtige Beispiele differenzierbarer Funktionen 252 Differenzierbarkeit der Polynome 252 Ableitung der e-Funktion und des Logarithmus 253 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen 254 Der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 257 Der Satz von Rolle 258 Folgerungen aus dem Mittelwertsatz 259 Die Regeln von l’Hospital 259 Wichtige Beispiele für die Anwendung der l’Hospitalschen Regeln 261 Taylorpolynome und Taylorentwicklung 263 Beispiele von Taylorentwicklungen 267 Analytische Funktionen als »ganzheitliche« Funktionen 270 Kapitel 11 Integrale 271 Stammfunktionen 271 Integrale elementarer Funktionen 272 Partielle Integration 273 Integration per Substitution 275 Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegungen 276 Bestimmte Integrale 279 Einstieg in die Flächenberechnung 279 Stammfunktionen »in action« 281 Teil IV: Vom Würfelspiel zum Algorithmus 283 Kapitel 12 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Regeln im Regellosen 285 Am Anfang war das Spiel – grundlegende Begrifflichkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung 286 Ereignisse und Elementarereignisse 286 Wahrscheinlichkeiten 290 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten im formalen Rahmen 295 Bedingte Wahrscheinlichkeiten – corriger la fortune 297 Bedingte Wahrscheinlichkeiten reengineered – die Formel von Bayes 302 Zufallsvariable – geeignete Codierungen zufälliger Ereignisse 303 Zufallsvariable – Übertragung von Wahrscheinlichkeiten auf Zahlenmengen 304 Summen und Produkte von Zufallsvariablen 305 Von der Zufallsvariablen zur Verteilungsfunktion 306 Mittelwerte in verschiedenen Ausprägungen: Erwartungswerte und Varianzen 308 Der Erwartungswert der Streuung – die Varianz 311 Korrelationen – synchrone Streuungen 313 Kapitel 13 Die klassischen Verteilungen 317 Binomialverteilung 317 Münzwurf mit geänderten Spielregeln 318 Erwartungswerte und Varianzen für binomialverteilte Zufallsvariablen 319 Geometrische Verteilung 321 Geänderte Spielregeln 322 Poissonverteilte Zufallsvariablen 323 Näherungsverfahren für die Binomialverteilung – die Poissonverteilung 324 Erwartungswerte und Varianzen poissonverteilter Zufallsvariablen 326 Stetige Verteilungen 328 Exponentialverteilung 329 Normalverteilung 333 Kapitel 14 Testen! – Denn Vertrauen ist nicht immer gut 341 Die Ungleichung von Tschebyscheff 343 Normalverteilung und Tschebyscheffsche Ungleichung in der Gegenüberstellung 345 Tschebyscheffsche Ungleichung und die Gesetze der großen Zahlen 347 Beispielhafte Anwendung des Maximum-Likelihood-Prinzips 349 Über das Testen von Hypothesen 350 Signifikanztests 350 Alternativtests 353 χ2-Anpassung und χ2-Test 358 Kapitel 15 Probabilistische Algorithmen – theoretisch interessant aus praktischen Gründen 361 Sortierverfahren 362 Statistische Analyse des Quicksorts 362 Monte Carlo und Las Vegas – die ganze Wahrheit und nichts als die Wahrheit 364 Quicksort durch die Brille von Las Vegas betrachtet 364 Las Vegas liberalisiert – nur noch »nichts als die Wahrheit« 364 Monte Carlo – »die ganze Wahrheit« 370 Teil V: Sprung in den Hyperraum 375 Kapitel 16 Vektoren – aggregierte Zahlen 377 Erste Operationen mit Vektoren: Addition und skalare Multiplikation 377 Kräfte können in unterschiedlichen Reihenfolgen addiert werden 378 Die Addition von drei oder mehr Vektoren kann unterschiedlich geklammert werden 378 Zu jedem Vektor gibt es einen inversen Vektor 379 Vektoren können mit Zahlen multipliziert werden 380 Auch Geschwindigkeiten sind Vektoren 380 Das Skalarprodukt – hiermit erhält die Vektorrechnung ihre eigentliche Power 382 Das Skalarprodukt als Mittel zur Berechnung physikalischer Arbeit 382 Das Skalarprodukt erfasst geometrisch wichtige Sachverhalte – Orthogonalität, Länge und Abstand 383 Die Algebraisierung der Geometrie 383 Algebraisierung der Geometrie 384 Die Algebraisierung der Geometrie zum Zweiten 387 Die Seitenhalbierenden – revisited 387 Vektoren in Koordinatensystemen 389 Auch umgekehrt wird ein Schuh draus: Vektoren erzeugen ein Koordinatensystem 393 Abstrakte Vektoren: Vektorräume 397 Einstieg in die Klasse Vector 397 Spezifikation von Vektorräumen 399 Strategische Begriffe 401 Auch der abstrakte Vektorraum kann als Aggregat von Zahlen aufgefasst werden 406 Aber wie decodieren wir ein 𝑣 eines abstrakten Vektorraumes V praktisch? 408 Erweiterung der Vektorraumspezifikation durch abstrakte Skalarprodukte 411 Die zweite Chance des Mathematikers 417 Die Natur spielt mit 418 Kapitel 17 Transformationen 419 Duale Basen 420 Kovariante und kontravariante Komponenten 422 Die Beziehungen zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten 422 Der Übergang zwischen ko- und kontravarianten Koordinaten bei orthonormierten Basen 423 Nicht orthonormale Basen – könnten wir auf sie verzichten? 424 Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren mit Hilfe dualer Basen 426 Lineare Abbildungen 427 Drehungen 427 Matrizen – operationelle Codierung linearer Abbildungen 428 Basistransformationen 434 Matrizen der Basistransformation 434 Besondere Eigenschaften der Matrizen der Basistransformationen 434 Die Matrizen der Basistransformationen als Matrizen einer Abbildung 435 Basistransformationen orthonormierter Basen 437 Kapitel 18 Lineare Gleichungssysteme – Number Crunching in der linearen Algebra 439 Gleichungssysteme und zugehörige Matrizen 440 Bedingungen der Lösbarkeit von Gleichungssystemen 441 Der Gaußsche Algorithmus 442 Homogene und inhomogene Gleichungssysteme 445 Determinanten in Aktion 446 Eigenwerte und Eigenvektoren 448 Auffinden der Eigenwerte 449 Berechnung der Eigenvektoren 449 Eigenvektoren und Diagonalisierung von Matrizen 450 Besonderheiten symmetrischer Matrizen 451 Teil VI: Höhere Weihen in der Analysis 453 Kapitel 19 Skalierung der Differenzierbarkeit 455 Behandlung von Funktionen zweier Variablen 455 Differenzierbarkeit von Funktionen zweier Variablen 456 Nichtdifferenzierbare Funktionen trotz Existenz partieller Ableitung 458 Hinreichende Bedingungen für die Differenzierbarkeit 461 Behandlung von Funktionen beliebig vieler Variablen 462 Vektorwertige Funktionen 463 Differenzierbarkeit vektorwertiger Funktionen 463 Rechenregeln für Gradienten und Funktionalmatrizen 464 Hesse-Matrix und Taylorentwicklungen 466 ∇ als Vektoroperator 466 Kritische Punkte und Extremwerte 468 Analyse der Hesse-Matrix 469 Beispielrechnung zur Analyse kritischer Punkte 470 Kapitel 20 Potenziale als Stammfunktionen 473 Generelle Bemerkungen zum Begriff Stammfunktion 473 Ansätze zur Definition des Integrals ∫x⃗x0F(⃗s)ds 474 Notiz zu F(si) ⋅ (Δs)i = F(α(ti)) ⋅ α(ṫ i)(Δt)i 475 Vektorfelder 475 Notwendige Integrationsbedingungen für Vektorfelder 476 Kurvenintegrale über Vektorfelder 477 Hinreichende Integrationsbedingungen für Vektorfelder 480 Existenz eines globalen Potenzials trotz Existenz einer Singularität 481 Beispielhafte Berechnung einer Potenzialfunktion 482 Kapitel 21 Steilkurs in komplexer Funktionentheorie 485 Das formale Rechnen mit komplexen Zahlen 485 Addition komplexer Zahlen 486 Multiplikation komplexer Zahlen 486 Inverse komplexer Zahlen 486 Komplexe Zahlen als abstrakter Datentyp 487 Äquivalente Modelle komplexer Zahlen 487 Alternative Modelle 488 Auch Äquivalenzklassen von Polynomen verhalten sich wie komplexe Zahlen 490 Komplexe Differenzierbarkeit 492 Quick-and-dirty-Überlegungen 492 Ein zweiter Blick auf die Differenzierbarkeit komplexwertiger Funktionen 493 Komplexe Kurvenintegrale 494 Kurvenintegrale und komplexe Differenzierbarkeit 495 Auf dem Weg zur Cauchyschen Integralformel 496 Beweis der Cauchyschen Integralformel 496 Analytizität komplex differenzierbarer Formeln 498 Drei wichtige Folgerungen 500 Kapitel 22 Hilberträume 503 Komplexe Vektorräume 504 Komplexe Skalarprodukte 505 Beispiele komplexer Vektorräume 507 Hilbertbasen für Tupel 510 Hilbertbasen für Treppenfunktionen 511 Reduktionen der Treppenbreite 512 Treppenfunktionen der Treppenbreite 512 Ein neuer Ansatz – eine letzte Chance 515 Neue Basen, neue Normierungen 519 Die δ-Funktion – ein »Außenskelett« für Hilberträume 522 Management summary des Wegs hin zur δ-Funktion 524 Der Hilbertraum der periodischen Funktionen 526 Funktionen mit Periode 2π 526 Die e-Funktionen als universelle Bausteine 526 Fourieranalyse und Fourierkoeffizienten 527 Basistransformationen 528 Fouriertransformationen nicht periodischer Funktionen 529 Basisfunktionen für 2πl-periodische Funktionen 530 Analyse des Übergangs l → ∞ 530 Die Fouriertransformationen als Basistransformationen 532 Hilberträume in der Physik 533 Vektoren in der klassischen Physik 533 Vektoren in der Mikrophysik 534 Abstrakte Vektoren im Hilbertraum 534 Orte und Impulse 535 Die Heisenbergsche Unschärferelation 536 Hilberträume im Quantencomputing –elementare Konzepte 539 Bits und Qubits 539 Bloch-Sphäre 540 Operationen auf der Bloch-Sphäre 541 2-Qubits 542 EPR-Paare und Quantenteleportation 544 Teil VII: Anhang 547 Anhang A: Methoden einer funktionellen Mengentheorie 549 Zielkonflikte 549 Java-Z-Funktionen 550 Anhang B: Binomialverteilung versus Poissonverteilung 565 Anhang C: Programmierung komplexer Zahlen als abstrakte Datentypen 567 Anhang D: Berechnung von Determinanten 575 Anhang E: Matrizenkalküle 581 Matrixmultiplikation 581 Anhang F: Benutzte Symbole 585 Stichwortverzeichnis 589

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