Calculus Books

Book SynopsisThis book offers readers the methods that are necessary to apply the power of calculus to analyze real problems.

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Book SynopsisIn recent years, technological progress created a great need for complex mathematical models. Many practical problems can be formulated using optimization theory and they hope to obtain an optimal solution. In most cases, such optimal solution can not be found. So, non-convex optimization problems (arising, e.g., in variational calculus, optimal control, nonlinear evolutions equations) may not possess a classical minimizer because the minimizing sequences have typically rapid oscillations. This behavior requires a relaxation of notion of solution for such problems; often we can obtain such a relaxation by means of Young measures. This monograph is a self-contained book which gathers all theoretical aspects related to the defining of Young measures (measurability, disintegration, stable convergence, compactness), a book which is also a useful tool for those interested in theoretical foundations of the measure theory. It provides a complete set of classical and recent compactness results in measure and function spaces. The book is organized in three chapters: The first chapter covers background material on measure theory in abstract frame. In the second chapter the measure theory on topological spaces is presented. Compactness results from the first two chapters are used to study Young measures in the third chapter. All results are accompanied by full demonstrations and for many of these results different proofs are given. All statements are fully justified and proved.Table of ContentsPreface 1 Weak Compactness in Measure Spaces 1.1 Measure spaces 1.2 Radon-Nikodym theorem. The dual of L1 1.3 Convergences in L1(l) and ca(A) 1.4 Weak compactness in ca(A) and L1(l) 1.5 The bidual of L1(l) 1.6 Extensions of Dunford-Pettis' theorem 2 Bounded Measures on Topological Spaces 2.1 Regular measures 2.2 Polish spaces. Suslin spaces 2.3 Narrow topology 2.4 Compactness results 2.5 Metrics on the space (Rca+(BT ), T) 2.6 Wiener measure 3 Young Measures 3.1 Preliminaries 3.2 Definitions. Examples 3.3 The stable topology 3.4 The subspace M(S) Y(S) 3.5 Compactness 3.6 Biting lemma 3.7 Product of Young measures 3.8 Jordan finite tight sets 3.9 Strong compactness in Lp(μ,E) References Index

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Book SynopsisAusführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis: von der Einführung der reellen Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendre-Transformationen, elliptische Funktionen und Distributionen. Ausgerichtet auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und in detaillierter Herangehensweise an die Integral- und Differentialrechnung. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. In Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung einer Variablen, erweitert um die Differentialrechnung mehrerer Variablen. Trade ReviewAus den Rezensionen der englischen Ausgabe: "Diese profunde Einführung [Math.Analysis I und II] in die Analysis sollte in keiner mathematischen Bibliothek fehlen, selbst bei budgetären Restriktionen, trotz der Überfülle an Einführungsbüchern. Eine genaue, bewußte Lektüre dieses profunden Werks könnte mögliche künftige Autoren mittelmäßiger Analysisbücher vielleicht abschrecken. [...]Meisterhaft wird hier intuitives Verstehen gefördert, vermittelt durch anschauliche geometrische Denkweisen, heuristische Ideen und induktive Vorgangsweisen, ohne Exaktheitsansprüche hintanzustellen oder konkrete Details oder Anwendungen auch nur ansatzweise zu vernachlässigen. Der Aufbau ist in vieler Hinsicht ungewöhnlich, eröffnet frühe Einblicke und Weitblicke und regt zum Denken an [...], ist auch der historischen Entwicklung angemessen und bietet eine wichtige Alternative zu den vielen "eleganten" Zugängen, bei denen die Vermittlung wichtiger nötiger Entwicklungsschritte für ein aktives Verständnis zu kurz kommt. Der umfassende, Nachbardisziplinen laufend berührende Zugang trägt reiche Früchte, ebenso die facettenreiche Fülle an Erklärungen der Wurzeln und Essenz der grundlegenden Konzepte und Resultate, die Beschreibungen von Zusammenhängen und Ausblicke auf weitere Entwicklungen mit vielen in Einführungsbüchern leider eher unüblichen Anwendungen und Querbezügen [...]. Man erwirbt mit diesem Werk zusätzlich ein vollständiges, umfangreiches und wertvolles "Problem-Buch". Bei aller reichhaltiger Fülle stellt sich die Mathematik hier aber immer als eine Einheit dar, in ihrer auf den heutigen Stellenwert Bezug nehmenden historischen und philosophischen Entwicklung, geprägt durch, an passender Stelle kompetent gewürdigte, bedeutende große schöpferische Persönlichkeiten. [...] Dieses vorzügliche Werk atmet den Geist einer bewunderungswürdigen, vielschichtigen Forscher- und Lehrerpersönlichkeit." H.Rindler, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005 "Die vorliegenden zwei Bände sind die englische Übersetzung eines russischen Werkes, das bereits Anfang der achtziger Jahre erschienen ist und inzwischen bereits zum vierten Mal aufgelegt wurde. Die Bücher beinhalten auf über 1200 Seiten die klassische Analysis in einer zeitgemäßen Darstellung sowie Querverbindungen zu Algebra, Differenzailgleichungen, Differenzialgeometrie, komplexe Analysis und Funktionalanlaysis. Addressaten sind Studenten (und Lehrende), die neben einer strengen mathematischen Theorie auch konkrete Anwendungen suchen... Dieses ausgezeichnete Werk kann Studienanfängern und fortgeschrittenen Studierenden uneingeschränkt empfohlen werden, aber auch Lehrende werden viele Anregungen darin finden." M.Kronfellner (Wien), IMN - Internationale Mathematische Nachrichten 59, Issue 198, 2005, S. 36-37 Aus den Rezensionen: "Der umfangreiche Band enthält den … Stoff einer Analysisvorlesung … Viel Raum wird … der Behandlung der Grundlagen gewidmet. … Im weiteren Verlauf beleben dann immer wieder naturwissenschaftliche und technische Anwendungen die mathematische Theorie. Jeder Abschnitt endet mit Aufgabenstellungen. Bei aller mathematischen Strenge sind die Ausführungen verständlich und vermeiden nicht unbedingt erforderliche abstrakte Ausweitungen … Empfehlenswert als Begleitlektüre zum Studium." (Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2006, Issue 52)Table of ContentsInhaltsverzeichnis 1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1 1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Bindew¨orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18 1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20 1.3.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Erg¨anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27 1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42 2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46 2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49 XVI Inhaltsverzeichnis 2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.1 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . 86 3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.4 Elementares zu Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . 116 3.2.3 Grenzwert auf einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 137 3.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.2 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2.1 Lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 167 4.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen . . . . . . . 181 5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . 186 5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Inhaltsverzeichnis XVII 5.1.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.2 Wichtige Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen . . . . . . . . 201 5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) 205 5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.2.4 Ableitungstabelle der Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 213 5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion 213 5.2.6 Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.2.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.3 Die zentralen S¨atze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle . . . . . . . . . . 223 5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy. . . . . . . . . . 225 5.3.3 Die Taylorschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.4 Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen . . . . . . . 246 5.4.1 Bedingungen f¨ur die Monotonie einer Funktion . . . . . . . . 246 5.4.2 Bedingungen f¨ur ein inneres Extremum einer Funktion . 247 5.4.3 Bedingungen f¨ur die Konvexit¨at einer Funktion . . . . . . . 253 5.4.4 Die Regel von L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen . . . . . . . 263 5.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.5 Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 5.5.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern . . 280 5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 285 5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung . . . . . . 288 5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des K¨orpers C . . . . . . . . 293 5.5.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften . 301 5.6.1 Bewegung eines K¨orpers mit ver¨anderlicher Masse . . . . . 302 5.6.2 Die barometrische H¨ohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . 306 5.6.4 In der Atmosph¨are fallende K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x . . . . . . . . . . . 310 5.6.6 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 5.6.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.7 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral . . . . . . 321 5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 329 5.7.4 Stammfunktionen der Form R R(cos x, sin x) dx . . . . . . . . 333 5.7.5 Stammfunktionen der Form R R(x, y(x)) dx . . . . . . . . . . . 335 5.7.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 XVIII Inhaltsverzeichnis 6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.1.1 Problemstellung und einf¨uhrende Betrachtungen . . . . . . 345 6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . 349 6.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 6.2 Linearit¨at, Additivit¨at und Monotonie des Integrals . . . . . . . . . . 365 6.2.1 Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] 365 6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion . . . . . . . . 365 6.2.3 Absch¨atzung, Monotonie und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . 368 6.2.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.3 Das Integral und die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung 380 6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . 381 6.3.4 ¨Anderung der Variablen in einem Integral . . . . . . . . . . . . 383 6.3.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 6.3.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral . . . . . . . . . 393 6.4.2 Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 6.4.3 Die Fl¨ache eines krummlinigen Trapezes . . . . . . . . . . . . . . 402 6.4.4 Volumen eines Drehk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.4.5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 6.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften . . . . . . . 413 6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals . . . . . . . . . . . . 418 6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularit¨at . 425 6.5.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7 Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.1 Der Raum Rm und seine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 7.1.1 Die Menge Rm und der Abstand in dieser Menge . . . . . . 432 7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . 433 7.1.3 Kompakte Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 7.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler . 438 7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 444 7.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Inhaltsverzeichnis XIX 8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler . . . 451 8.1 Die lineare Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.1.1 Rm als Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.1.2 Lineare Transformationen L : Rm ! Rn . . . . . . . . . . . . . . 452 8.1.3 Die Norm in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1.4 Die euklidische Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.2 Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . 456 8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt . 456 8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten . . 457 8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung . . . . 460 8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.3.1 Linearit¨at der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) . . . . . . 465 8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.4.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.4.2 Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Differenzierbarkeit 480 8.4.3 Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 481 8.4.4 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 486 8.4.6 Einige geometrische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 8.4.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.5 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . 506 8.5.3 ¨Ubergang zur Gleichung F(x1, . . . , xm, y) = 0 . . . . . . . . . 510 8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.5.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . 522 8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . 527 8.6.3 Funktionale Abh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . 534 8.6.5 Das Morse-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 8.6.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 8.7 Fl¨achen in Rn und bedingte Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 8.7.1 k-dimensionale Fl¨achen in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 8.7.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 8.7.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 XX Inhaltsverzeichnis Einige Aufgaben aus den Halbjahrespr¨ufungen . . . . . . . . . . . . . . . . 571 1. Einf¨uhrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) . . . . . . 571 2. Differentialrechnung in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 3. Integration und Einf¨uhrung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . 574 4. Differentialrechnung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Pr¨ufungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 1. Erstes Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen . . . . 579 2. Zweites Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen . 581 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1. Klassische Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.1 Orginalquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten H¨alfte des 20. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 2. Lehrb¨ucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 3. Studienunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 4. Weiterf¨uhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

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Book SynopsisDer vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik relevant sind. Für die 8. Auflage wurde der Text sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.Table of ContentsMaßtheoretische Grundlagen.- Das Lebesguesche Integral.- Konvergenzsätze der Integrationstheorie.- Die Lp-Räume.- Fouriertransformation - Integration auf Untermannigfaltigkeiten.- Der Gaußsche Integralsatz.- Potentialgleichung.- Distributionen.- Differentialformen.- Stokesscher Integralsatz.

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Book SynopsisDieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.Table of ContentsVollständige Induktion.- Grenzwerte von Folgen und Reihen.- Stetige Funktionen.- Die Elementaren Funktionen.- Differentialrechnung.- Das Riemannsche Integral.- Taylor- und Fourier-Reihen.

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Book SynopsisDas Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2.Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.Trade Review"Das Buch schließt mit einem fast unterhaltsamen Abschnitt über "Englisch für Mathematiker" der ebenfalls wie das gesamte Werk auch Nicht-Mathematikern zur Lektüre, zur Vertiefung und als Ergänzung zu den einschlägigen Vorlesungen empfohlen sei." ImpulsE, 12/2007Table of ContentsFunktionenräume - Integration - Anwendungen der Integralrechnung - Differentialrechnung im R^n - Mathematische Ausblicke: Lebesgue-Integral, Fourierreihen, Mehrfachintegrale - Englisch für Mathematiker

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Book SynopsisZiel des Buches ist es, eine Einführung in die theoretischen Grundlagen, die numerischen Verfahren und die Anwendungen der nichtlinearen Optimierung zu geben. Die Auswahl wurde so getroffen, dass auch die praktische Vorgehensweise bei der Lösung konkreter Aufgabenstellungen ausreichend berücksichtigt wird. Dazu betrachtet der Autor beispielsweise einfache Modelle für Produktions- und Lagerhaltungsprobleme. An diesen Modellen erläutert er die theoretischen Resultate, diskutiert mögliche Varianten, Verbesserungen und Verfeinerungen der Modellierung und geht auf verschiedene Möglichkeiten zur Formulierung solcher Aufgaben als nichtlineare Optimierungsprobleme ein. Außerdem demonstriert er an zahlreichen Beispielen die Anwendung von Optimierungssoftware zur numerischen Berechnung einer Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben, wobei er die Implementierungen von Optimierungsverfahren aus Matlab oder aus der NAG-Bibliothek benutzt. Neu in der 2. Auflage sind zwei Kapitel über nichtglatte Optimierungsprobleme sowie Übungsaufgaben zu allen Kapiteln.Table of ContentsOptimierungsaufgaben - Ableitungsfreie Verfahren - Unrestringierte Optimierungsprobleme: Theorie und Verfahren - Optimierungsprobleme mit linearen Restriktionen: Theorie und Verfahren - Optimierungsprobleme mit nichtlinearen Restriktionen: Theorie und Verfahren - Nichtglatte Optimierungsprobleme: Theorie und Verfahren

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Book SynopsisDer zweite Teil dieser Aufgabensammlung umfasst einen großen Vorrat an Beispielen aus Analysis mehrerer Variablen, Vektoranalysis, Gewöhnlichen Differentialgleichungen und Integraltransformationen. Wie bei Band 1 werden für jedes Teilgebiet zunächst die zum Bearbeiten der nachfolgenden Aufgaben erforderlichen Grundlagen kurz zusammengefasst und anschließend jeweils eine Reihe speziell ausgewählter Beispiele ausführlich gelöst. In einem weiteren Abschnitt werden Aufgaben mit Lösungen angegeben. In einem abschließenden Kapitel behandelt der Autor Aufgabenstellungen aus Technik und Physik.Table of ContentsStetigkeit und Differenzierbarkeit - Richtungsableitung, Tangentialebene - Kettenregel - Mittelwertsatz und Satz von TAYLOR - Implizite Funktionen und Umkehrfunktion - Extrema ohne Nebenbedingungen - Extrema mit Nebenbedingungen - Kurven im lRn - Mehrfachintegrale - Oberflächen und Oberflächenintegrale - Kurvenintegrale - Dfferentialoperatoren - Satz von GAUSS - Satz von GREEN-RIEMANN - Satz von STOKES - Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen, Potentiale - Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung - Lineare Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung - Lösungsdarstellungen mittels Reihen - Lineare Systeme von Differentialgleichungen - Autonome Differentialgleichungen und autonome Systeme - LAPLACE-Transformation - FOURIER-Transformation

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Book SynopsisSince the publication of the first edition of this book, the area of mathematical finance has grown rapidly, with financial analysts using more sophisticated mathematical concepts, such as stochastic integration, to describe the behavior of markets and to derive computing methods. Maintaining the lucid style of its popular predecessor, Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Second Edition incorporates some of these new techniques and concepts to provide an accessible, up-to-date initiation to the field. New to the Second EditionComplements on discrete models, including Rogers'' approach to the fundamental theorem of asset pricing and super-replication in incomplete markets Discussions on local volatility, Dupire''s formula, the change of numéraire techniques, forward measures, and the forward Libor model A new chapter on credit risk modeling An extension of the chapter on simulTrade ReviewThe second edition of this book provides a concise and accessible introduction to the probabilistic techniques needed to understand the most widely used financial models. This edition incorporates many new techniques and concepts to be used to describe the behavior of financial markets. … the solutions obtained using SciLab for computer experiments are available at http://cermics.enpc.fr/~bl/scilab/ These experiments were well designed by the authors based on their teaching and research experience and were found to be effective in communicating these concepts and ideas and enhancing the understanding of readers. … a solid introduction to stochastic approaches used in the financial world. The authors cover many key finance topics … . The book can be used as a reference text by researchers and graduate students in financial mathematics. It also is ideal reading material for practicing financial analysts and consultants using mathematical models for finance.—Technometrics, May 2009, Vol. 51, No. 2 Table of ContentsDiscrete-Time Models. Optimal Stopping Problem and American Options. Brownian Motion and Stochastic Differential Equations. The Black-Scholes Model. Option Pricing and Partial Differential Equations. Interest Rate Models. Asset Models with Jumps. Credit Risk Models. Simulation and Algorithms for Financial Models. Appendix. Bibliography. Index.

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Book SynopsisThere is a resurgence of applications for the calculus of variations, such as in solid mechanics and dynamics, numerical methods, numerical grid generation, modern physics, various optimization settings and fluid dynamics. This book reflects the connection between calculus of variations and the applications for which variational methods form the foundation.Trade Review'The current book is an attractive fresh look at the subject by a professor of mechanical and aerospace engineering … Most chapters have a modest number of exercises. There is a very nice bibliography.' Bill Satzer, MAA Reviews'This well-written book contains a large amount of material … will also be useful for scientists from application areas, in particular, those from engineering and physics.' Vicenţiu D. Rădulescu, Mathematical Reviews'Overall, the text is clear and provides an excellent introduction to the calculus of variations for engineers and applied scientists looking for a concise exposition of the theory with numerous applications. Several historical notes appear throughout the text, which helps students understand the overall framework of variational calculus.' Joel Storch, IEEE Systems Control MagazineTable of Contents1. Preliminaries; 2. Calculus of variations; 3. Rayleigh-Ritz, Galerkin, and finite-element methods; 4. Hamilton's principle; 5. Classical mechanics; 6. Stability of dynamical systems; 7. Optics and electromagnetics; 8. Modern physics; 9. Fluid mechanics; 10. Optimization and control; 11. Image processing and data analysis; 12. Numerical grid generation.

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Book SynopsisThis new edition of a classic textbook develops complex analysis from the established theory of real analysis by emphasising the differences that arise as a result of the richer geometry of the complex plane. Key features of the authors'' approach are to use simple topological ideas to translate visual intuition to rigorous proof, and, in this edition, to address the conceptual conflicts between pure and applied approaches head-on. Beyond the material of the clarified and corrected original edition, there are three new chapters: Chapter 15, on infinitesimals in real and complex analysis; Chapter 16, on homology versions of Cauchy''s theorem and Cauchy''s residue theorem, linking back to geometric intuition; and Chapter 17, outlines some more advanced directions in which complex analysis has developed, and continues to evolve into the future. With numerous worked examples and exercises, clear and direct proofs, and a view to the future of the subject, this is an invaluable companion forTable of ContentsPreface to the first edition; Preface to the second edition; The origins of complex analysis, and its challenge to intuition; 1. Algebra of the complex plane; 2. Topology of the complex plane; 3. Power series; 4. Differentiation; 5. The exponential function; 6. Integration; 7. Angles, logarithms, and the winding number; 8. Cauchy's theorem; 9. Homotopy versions of Cauchy's theorem; 10. Taylor series; 11. Laurent series; 12. Residues; 13. Conformal transformations; 14. Analytic continuation; 15. Infinitesimals in real and complex analysis; 16. Homology version of Cauchy's theorem; 17. The road goes ever on; References; Index.

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Book SynopsisThis second edition retains the positive features of being clearly written, well organized, and incorporating calculus in the text, while adding expanded coverage on game theory, experimental economics, and behavioural economics. It remains more focused and manageable than similar textbooks, and provides a concise yet comprehensive treatment of the core topics of microeconomics, including theories of the consumer and of the firm, market structure, partial and general equilibrium, and market failures caused by public goods, externalities and asymmetric information. The book includes helpful solved problems in all the substantive chapters, as well as over seventy new mathematical exercises and enhanced versions of the ones in the first edition. The authors make use of the book''s full color with sharp and helpful graphs and illustrations. This mathematically rigorous textbook is meant for students at the intermediate level who have already had an introductory course in microeconomics, anTrade Review'There are many textbooks covering intermediate microeconomics, but this one is distinctive for how clearly yet concisely it conveys the material. I highly recommend it.' Eric Maskin, Nobel Laureate in Economics, Harvard University, Massachusetts'This thoughtfully conceived and beautifully written textbook covers all of the material that one would hope to see in a modern course on intermediate microeconomics, from consumer theory and general equilibrium, to game theory and markets with asymmetric information. Rich examples and exercises follow each chapter and, all-combined, make this a masterfully executed book.' Philip J. Reny, Hugo F. Sonnenschein Distinguished Service Professor in Economics, University of ChicagoTable of Contents1. Introduction; Part I. Theory of the Consumer: 2. Preferences and utility; 3. The budget constraint and the consumer's optimal choice; 4. Demand functions; 5. Supply functions for labor and savings; 6. Welfare economics 1: the one-person case; 7. Welfare economics 2: the many-person case; Part II. Theory of the Producer: 8. Theory of the firm 1: the single-input model; 9. Theory of the firm 2: the long run, multiple-input model; 10. Theory of the firm 3: the short run, multiple-input model; Part III. Partial Equilibrium: Market Structure: 11. Perfectly competitive markets; 12. Monopoly and monopolistic competition; 13. Duopoly; 14. Game theory; Part IV. General Equilibrium: 15. An exchange economy; 16. A production economy; Part V. Market Failure: 17. Externalities; 18. Public goods; 19. Uncertainty and expected utility; 20. Uncertainty and asymmetric information.

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Book SynopsisTable of Contents1 Foundation For Calculus: Functions and Limits 1 1.1 Functions and Change 2 1.2 Exponential Functions 14 1.3 New Functions From Old 26 1.4 Logarithmic Functions 34 1.5 Trigonometric Functions 42 1.6 Powers, Polynomials, and Rational Functions 53 1.7 Introduction To Limits and Continuity 62 1.8 Extending The Idea of A Limit 71 1.9 Further Limit Calculations Using Algebra 80 1.10 Preview of The Formal Definition of A Limit Online 2 Key Concept: The Derivative 87 2.1 How Do We Measure Speed? 88 2.2 The Derivative At A Point 96 2.3 The Derivative Function 105 2.4 Interpretations of The Derivative 113 2.5 The Second Derivative 121 2.6 Differentiability 130 3 Short-Cuts To Differentiation 135 3.1 Powers and Polynomials 136 3.2 The Exponential Function 146 3.3 The Product and Quotient Rules 151 3.4 The Chain Rule 158 3.5 The Trigonometric Functions 165 3.6 The Chain Rule and Inverse Functions 171 3.7 Implicit Functions 178 3.8 Hyperbolic Functions 181 3.9 Linear Approximation and The Derivative 185 3.10 Theorems About Differentiable Functions 193 4 Using The Derivative 199 4.1 Using First and Second Derivatives 200 4.2 Optimization 211 4.3 Optimization and Modeling 220 4.4 Families of Functions and Modeling 234 4.5 Applications To Marginality 244 4.6 Rates and Related Rates 253 4.7 L’hopital’s Rule, Growth, and Dominance 264 4.8 Parametric Equations 271 5 Key Concept: The Definite Integral 285 5.1 How Do We Measure Distance Traveled? 286 5.2 The Definite Integral 298 5.3 The Fundamental Theorem and Interpretations 308 5.4 Theorems About Definite Integrals 319 6 Constructing Antiderivatives 333 6.1 Antiderivatives Graphically and Numerically 334 6.2 Constructing Antiderivatives Analytically 341 6.3 Differential Equations and Motion 348 6.4 Second Fundamental Theorem of Calculus 355 7 Integration 361 7.1 Integration By Substitution 362 7.2 Integration By Parts 373 7.3 Tables of Integrals 380 7.4 Algebraic Identities and Trigonometric Substitutions 386 7.5 Numerical Methods For Definite Integrals 398 7.6 Improper Integrals 408 7.7 Comparison of Improper Integrals 417 8 Using The Definite Integral 425 8.1 Areas and Volumes 426 8.2 Applications To Geometry 436 8.3 Area and Arc Length In Polar Coordinates 447 8.4 Density and Center of Mass 456 8.5 Applications To Physics 467 8.6 Applications To Economics 478 8.7 Distribution Functions 489 8.8 Probability, Mean, and Median 497 9 Sequences and Series 507 9.1 Sequences 508 9.2 Geometric Series 514 9.3 Convergence of Series 522 9.4 Tests For Convergence 529 9.5 Power Series and Interval of Convergence 539 10 Approximating Functions Using Series 549 10.1 Taylor Polynomials 550 10.2 Taylor Series 560 10.3 Finding and Using Taylor Series 567 10.4 The Error In Taylor Polynomial Approximations 577 10.5 Fourier Series 584 11 Differential Equations 599 11.1 What is a Differential Equation? 600 11.2 Slope Fields 605 11.3 Euler’s Method 614 11.4 Separation of Variables 619 11.5 Growth and Decay 625 11.6 Applications and Modeling 637 11.7 The Logistic Model 647 11.8 Systems of Differential Equations 657 11.9 Analyzing The Phase Plane 667 11.10 Second-Order Differential Equations: Oscillations 674 11.11 Linear Second-Order Differential Equations 682 12 Functions of Several Variables 693 12.1 Functions of Two Variables 694 12.2 Graphs and Surfaces 702 12.3 Contour Diagrams 711 12.4 Linear Functions 725 12.5 Functions of Three Variables 732 12.6 Limits and Continuity 739 13 A Fundamental Tool: Vectors 745 13.1 Displacement Vectors 746 13.2 Vectors In General 755 13.3 The Dot Product 763 13.4 The Cross Product 774 14 Differentiating Functions of Several Variables 785 14.1 The Partial Derivative 786 14.2 Computing Partial Derivatives Algebraically 795 14.3 Local Linearity and The Differential 800 14.4 Gradients and Directional Derivatives In The Plane 809 14.5 Gradients and Directional Derivatives In Space 819 14.6 The Chain Rule 827 14.7 Second-Order Partial Derivatives 838 14.8 Differentiability 847 15 Optimization: Local and Global Extrema 855 15.1 Critical Points: Local Extrema and Saddle Points 856 15.2 Optimization 866 15.3 Constrained Optimization: Lagrange Multipliers 876 16 Integrating Functions of Several Variables 889 16.1 The Definite Integral of A Function of Two Variables 890 16.2 Iterated Integrals 898 16.3 Triple Integrals 908 16.4 Double Integrals In Polar Coordinates 916 16.5 Integrals In Cylindrical and Spherical Coordinates 921 16.6 Applications of Integration To Probability 931 17 Parameterization and Vector Fields 937 17.1 Parameterized Curves 938 17.2 Motion, Velocity, and Acceleration 948 17.3 Vector Fields 958 17.4 The Flow of A Vector Field 966 18 Line Integrals 973 18.1 The Idea of A Line Integral 974 18.2 Computing Line Integrals Over Parameterized Curves 984 18.3 Gradient Fields and Path-Independent Fields 992 18.4 Path-Dependent Vector Fields and Green’s Theorem 1003 19 Flux Integrals and Divergence 1017 19.1 The Idea of A Flux Integral 1018 19.2 Flux Integrals For Graphs, Cylinders, and Spheres 1029 19.3 The Divergence of A Vector Field 1039 19.4 The Divergence Theorem 1048 20 The Curl and Stokes’ Theorem 1055 20.1 The Curl of A Vector Field 1056 20.2 Stokes’ Theorem 1064 20.3 The Three Fundamental Theorems 1071 21 Parameters, Coordinates, and Integrals 1077 21.1 Coordinates and Parameterized Surfaces 1078 21.2 Change of Coordinates In A Multiple Integral 1089 21.3 Flux Integrals Over Parameterized Surfaces 1094 Appendices Online A Roots, Accuracy, and Bounds Online B Complex Numbers Online C Newton’s Method Online D Vectors In The Plane Online E Determinants Online Ready Reference 1099 Answers To Odd Numbered Problems 1117 Index 1177

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Book SynopsisTable of ContentsPreface vii Supplements ix Acknowledgments xi The Roots of Calculus xv 1 Limits and Continuity 1 1.1 Limits (An Intuitive Approach) 1 1.2 Computing Limits 13 1.3 Limits at Infinity; End Behavior of a Function 21 1.4 Limits (Discussed More Rigorously) 30 1.5 Continuity 39 1.6 Continuity of Trigonometric Functions 50 2 The Derivative 77 2.1 Tangent Lines and Rates of Change 77 2.2 The Derivative Function 87 2.3 Introduction to Techniques of Differentiation 98 2.4 The Product and Quotient Rules 105 2.5 Derivatives of Trigonometric Functions 110 2.6 The Chain Rule 114 2.7 Implicit Differentiation 124 2.8 Related Rates 142 2.9 Local Linear Approximation; Differentials 149 3 The Derivative in Graphing and Applications 169 3.1 Analysis of Functions I: Increase, Decrease, and Concavity 169 3.2 Analysis of Functions II: Relative Extrema; Graphing Polynomials 180 3.3 Analysis of Functions III: Rational Functions, Cusps, and Vertical Tangents 189 3.4 Absolute Maxima and Minima 200 3.5 Applied Maximum and Minimum Problems 208 3.6 Rectilinear Motion 222 3.7 Newton’s Method 230 3.8 Rolle’s Theorem; Mean-Value Theorem 235 4 Integration 249 4.1 An Overview of the Area Problem 249 4.2 The Indefinite Integral 254 4.3 Integration by Substitution 264 4.4 The Definition of Area as a Limit; Sigma Notation 271 4.5 The Definite Integral 281 4.6 The Fundamental Theorem of Calculus 290 4.7 Rectilinear Motion Revisited Using Integration 302 4.8 Average Value of a Function and its Applications 310 4.9 Evaluating Definite Integrals by Substitution 315 5 Applications of the Definite Integral in Geometry, Science, and Engineering 336 5.1 Area Between Two Curves 336 5.2 Volumes by Slicing; Disks and Washers 344 5.3 Volumes by Cylindrical Shells 354 5.4 Length of a Plane Curve 360 5.5 Area of a Surface of Revolution 365 5.6 Work 370 5.7 Moments, Centers of Gravity, and Centroids 378 5.8 Fluid Pressure and Force 387 6 Exponential, Logarithmic, and Inverse Trigonometric Functions 336 6.1 Exponential and Logarithmic Functions 336 6.2 Derivatives and Integrals Involving Logarithmic Functions 347 6.3 Derivatives of Inverse Functions; Derivatives and Integrals Involving Exponential Functions 353 6.4 Graphs and Applications Involving Logarithmic and Exponential Functions 360 6.5 L’Hôpital’s Rule; Indeterminate Forms 367 6.6 Logarithmic and Other Functions Defined by Integrals 376 6.7 Derivatives and Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions 387 6.8 Hyperbolic Functions and Hanging Cables 398 7 Principles of Integral Evaluation 406 7.1 An Overview of Integration Methods 406 7.2 Integration by Parts 409 7.3 Integrating Trigonometric Functions 417 7.4 Trigonometric Substitutions 424 7.5 Integrating Rational Functions by Partial Fractions 430 7.6 Using Computer Algebra Systems and Tables of Integrals 437 7.7 Numerical Integration; Simpson’s Rule 446 7.8 Improper Integrals 458 8 Mathematical Modeling with Differential Equations 471 8.1 Modeling with Differential Equations 471 8.2 Separation of Variables 477 8.3 Slope Fields; Euler’s Method 488 8.4 First-Order Differential Equations and Applications 494 9 Infinite Series 504 9.1 Sequences 504 9.2 Monotone Sequences 513 9.3 Infinite Series 520 9.4 Convergence Tests 528 9.5 The Comparison, Ratio, and Root Tests 534 9.6 Alternating Series; Absolute and Conditional Convergence 539 9.7 Maclaurin and Taylor Polynomials 549 9.8 Maclaurin and Taylor Series; Power Series 559 9.9 Convergence of Taylor Series 567 9.10 Differentiating and Integrating Power Series; Modeling with Taylor Series 575 10 Parametric and Polar Curves; Conic Sections 588 10.1 Parametric Equations; Tangent Lines and Arc Length for Parametric Curves 588 10.2 Polar Coordinates 600 10.3 Tangent Lines, Arc Length, and Area for Polar Curves 613 10.4 Conic Sections 622 10.5 Rotation of Axes; Second-Degree Equations 639 10.6 Conic Sections in Polar Coordinates 644 11 Three-dimensional Space; Vector 11.1 Rectangular Coordinates in 3-Space; Spheres; Cylindrical Surfaces 657 11.2 Vectors 663 11.3 Dot Product; Projections 673 11.4 Cross Product 682 11.5 Parametric Equations of Lines 692 11.6 Planes in 3-Space 698 11.7 Quadric Surfaces 705 11.7 Cylindrical and Spherical Coordinates 715 12 Vector-Valued Functions 723 12.1 Introduction to Vector-Valued Functions 723 12.2 Calculus of Vector-Valued Functions 729 12.3 Change of Parameter; Arc Length 738 12.4 Unit Tangent, Normal, and Binormal Vectors 746 12.5 Curvature 751 12.6 Motion Along a Curve 759 12.7 Kepler’s Laws of Planetary Motion 771 13 Partial Derivatives 781 13.1 Functions of Two or More Variables 781 13.2 Limits and Continuity 791 13.3 Partial Derivatives 800 13.4 Differentiability, Differentials, and Local Linearity 812 13.5 The Chain Rule 820 13.6 Directional Derivatives and Gradients 830 13.7 Tangent Planes and Normal Vectors 840 13.8 Maxima and Minima of Functions of Two Variables 845 13.9 Lagrange Multipliers 856 14 Multiple Integrals 925 14.1 Double Integrals 925 14.2 Double Integrals Over Nonrectangular Regions 932 14.3 Double Integrals in Polar Coordinates 941 14.4 Surface Area; Parametric Surfaces 948 14.5 Triple Integrals 961 14.6 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates 968 14.7 Change of Variables in Multiple Integrals; Jacobians 977 14.8 Centers of Gravity Using Multiple Integrals 989 15 Topics in Vector Calculus 1001 15.1 Vector Fields 1001 15.2 Line Integrals 1010 15.3 Independence of Path; Conservative Vector Fields 1025 15.4 Green’s Theorem 1035 15.5 Surface Integrals 1042 15.6 Applications of Surface Integrals; Flux 1049 15.7 The Divergence Theorem 1058 15.8 Stokes’ Theorem 1067 Appendix A A1 Appendix B 00 Appendix C 00 Appendix D 00 Appendix E 00 Answers 00 Index I1

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Book SynopsisTable of ContentsPREFACE vii SUPPLEMENTS ix ACKNOWLEDGMENTS xi THE ROOTS OF CALCULUS xv 1 Limits and Continuity 1 1.1 Limits (An Intuitive Approach) 1 1.2 Computing Limits 13 1.3 Limits at Infinity; End Behavior of a Function 21 1.4 Limits (Discussed More Rigorously) 30 1.5 Continuity 39 1.6 Continuity of Trigonometric Functions 50 1.7 Inverse Trigonometric Functions 55 1.8 Exponential and Logarithmic Functions 62 2 The Derivative 77 2.1 Tangent Lines and Rates of Change 77 2.2 The Derivative Function 87 2.3 Introduction to Techniques of Differentiation 98 2.4 The Product and Quotient Rules 105 2.5 Derivatives of Trigonometric Functions 110 2.6 The Chain Rule 114 3 Topics in Differentiation 124 3.1 Implicit Differentiation 124 3.2 Derivatives of Logarithmic Functions 131 3.3 Derivatives of Exponential and Inverse Trigonometric Functions 136 3.4 Related Rates 142 3.5 Local Linear Approximation; Differentials 149 3.6 L'Hôpital's Rule; Indeterminate Forms 157 4 The Derivative in Graphing and Applications 169 4.1 Analysis of Functions I: Increase, Decrease, and Concavity 169 4.2 Analysis of Functions II: Relative Extrema; Graphing Polynomials 180 4.3 Analysis of Functions III: Rational Functions, Cusps, and Vertical Tangents 189 4.4 Absolute Maxima and Minima 200 4.5 Applied Maximum and Minimum Problems 208 4.6 Rectilinear Motion 222 4.7 Newton's Method 230 4.8 Rolle's Theorem; Mean-Value Theorem 235 5 Integration 249 5.1 An Overview of the Area Problem 249 5.2 The Indefinite Integral 254 5.3 Integration by Substitution 264 5.4 The Definition of Area as a Limit; Sigma Notation 271 5.5 The Definite Integral 281 5.6 The Fundamental Theorem of Calculus 290 5.7 Rectilinear Motion Revisited Using Integration 302 5.8 Average Value of a Function and Its Applications 310 5.9 Evaluating Definite Integrals by Substitution 315 5.10 Logarithmic and Other Functions Defined by Integrals 320 6 Applications of the Definite Integral in Geometry, Science, and Engineering 336 6.1 Area Between Two Curves 336 6.2 Volumes by Slicing; Disks and Washers 344 6.3 Volumes by Cylindrical Shells 354 6.4 Length of a Plane Curve 360 6.5 Area of a Surface of Revolution 365 6.6 Work 370 6.7 Moments, Centers of Gravity, and Centroids 378 6.8 Fluid Pressure and Force 387 6.9 Hyperbolic Functions and Hanging Cables 392 7 Principles of Integral Evaluation 406 7.1 An Overview of Integration Methods 406 7.2 Integration by Parts 409 7.3 Integrating Trigonometric Functions 417 7.4 Trigonometric Substitutions 424 7.5 Integrating Rational Functions by Partial Fractions 430 7.6 Using Computer Algebra Systems and Tables of Integrals 437 7.7 Numerical Integration; Simpson's Rule 446 7.8 Improper Integrals 458 8 Mathematical Modeling with Differential Equations 471 8.1 Modeling with Differential Equations 471 8.2 Separation of Variables 477 8.3 Slope Fields; Euler's Method 488 8.4 First-Order Differential Equations and Applications 494 9 Infinite Series 504 9.1 Sequences 504 9.2 Monotone Sequences 513 9.3 Infinite Series 520 9.4 Convergence Tests 528 9.5 The Comparison, Ratio, and Root Tests 534 9.6 Alternating Series; Absolute and Conditional Convergence 540 9.7 Maclaurin and Taylor Polynomials 549 9.8 Maclaurin and Taylor Series; Power Series 559 9.9 Convergence of Taylor Series 567 9.10 Differentiating and Integrating Power Series; Modeling with Taylor Series 575 10 Parametric and Polar Curves; Conic Sections 588 10.1 Parametric Equations; Tangent Lines and Arc Length for Parametric Curves 588 10.2 Polar Coordinates 600 10.3 Tangent Lines, Arc Length, and Area for Polar Curves 613 10.4 Conic Sections 622 10.5 Rotation of Axes; Second-Degree Equations 639 10.6 Conic Sections in Polar Coordinates 644 A Appendices A Trigonometry Review (Summary) App-1 B Functions (Summary) App-8 C New Functions From Old (Summary) App-11 D Families of Functions (Summary) App-16 E Inverse Functions (Summary) App-23 READY REFERENCE RR-1 ANSWERS TO ODD-NUMBERED EXERCISES Ans-1 INDEX Ind-1 Web Appendices (online only) Available in WileyPLUS A Trigonometry Review B Functions C New Functions From Old D Families of Functions E Inverse Functions F Real Numbers, Intervals, and Inequalities G Absolute Value H Coordinate Planes, Lines, and Linear Functions I Distance, Circles, and Quadratic Equations J Solving Polynomial Equations K Graphing Functions Using Calculators and Computer Algebra Systems L Selected Proofs M Early Parametric Equations Option N Mathematical Models O The Discriminant P Second-Order Linear Homogeneous Differential Equations Chapter Web Projects: Expanding the Calculus Horizon (online only) Available in WileyPLUS Robotics -- Chapter 2 Railroad Design -- Chapter 7 Iteration and Dynamical Systems -- Chapter 9 Comet Collision -- Chapter 10

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Book SynopsisTable of ContentsPreface vii Supplements ix Acknowledgments xi The Roots of Calculus xvi 1 Limits and Continuity 1 1.1 Limits (An Intuitive Approach) 1 1.2 Computing Limits 13 1.3 Limits at Infinity; End Behavior of a Function 21 1.4 Limits (Discussed More Rigorously) 30 1.5 Continuity 39 1.6 Continuity of Trigonometric Functions 50 2 The Derivative 58 2.1 Tangent Lines and Rates of Change 58 2.2 The Derivative Function 68 2.3 Introduction to Techniques of Differentiation 79 2.4 The Product and Quotient Rules 86 2.5 Derivatives of Trigonometric Functions 91 2.6 The Chain Rule 95 2.7 Implicit Differentiation 102 2.8 Related Rates 109 2.9 Local Linear Approximation; Differentials 116 3 The Derivative in Graphing and Applications 128 3.1 Analysis of Functions I: Increase, Decrease, and Concavity 128 3.2 Analysis of Functions II: Relative Extrema; Graphing Polynomials 137 3.3 Analysis of Functions III: Rational Functions, Cusps, and Vertical Tangents 146 3.4 Absolute Maxima and Minima 154 3.5 Applied Maximum and Minimum Problems 162 3.6 Rectilinear Motion 175 3.7 Newton’s Method 182 3.8 Rolle’s Theorem; Mean-Value Theorem 188 4 Integration 200 4.1 An Overview of the Area Problem 200 4.2 The Indefinite Integral 205 4.3 Integration by Substitution 214 4.4 The Definition of Area as a Limit; Sigma Notation 220 4.5 The Definite Integral 231 4.6 The Fundamental Theorem of Calculus 239 4.7 Rectilinear Motion Revisited Using Integration 251 4.8 Average Value of a Function and Its Applications 259 4.9 Evaluating Definite Integrals by Substitution 263 5 Applications of the Definite Integral in Geometry, Science, and Engineering 273 5.1 Area Between Two Curves 273 5.2 Volumes by Slicing; Disks and Washers 281 5.3 Volumes by Cylindrical Shells 290 5.4 Length of a Plane Curve 297 5.5 Area of a Surface of Revolution 302 5.6 Work 307 5.7 Moments, Centers of Gravity, and Centroids 315 5.8 Fluid Pressure and Force 323 6 Exponential, Logarithmic, and Inverse Trigonometric Functions 331 6.1 Exponential and Logarithmic Functions 331 6.2 Derivatives and Integrals Involving Logarithmic Functions 342 6.3 Derivatives of Inverse Functions; Derivatives and Integrals Involving Exponential Functions 349 6.4 Graphs and Applications Involvig Logarithmic and Exponential Functions 355 6.5 L’Hoˆ pital’s Rule; Indeterminate Forms 362 6.6 Logarithmic and Other Functions Defined by Integrals 371 6.7 Derivatives and Integrals Involving Inverse Trigonometric Functions 382 6.8 Hyperbolic Functions and Hanging Cables 392 7 Principles of Integral Evaluation 406 7.1 An Overview of Integration Methods 406 7.2 Integration by Parts 409 7.3 Integrating Trigonometric Functions 417 7.4 Trigonometric Substitutions 424 7.5 Integrating Rational Functions by Partial Fractions 430 7.6 Using Computer Algebra Systems and Tables of Integrals 437 7.7 Numerical Integration; Simpson’s Rule 446 7.8 Improper Integrals 458 8 Mathematical Modeling with Differential Equations 471 8.1 Modeling with Differential Equations 471 8.2 Separation of Variables 477 8.3 Slope Fields; Euler’s Method 488 8.4 First-Order Differential Equations and Applications 494 9 Infinite Series 504 9.1 Sequences 504 9.2 Monotone Sequences 513 9.3 Infinite Series 520 9.4 Convergence Tests 528 9.5 The Comparison, Ratio, and Root Tests 534 9.6 Alternating Series; Absolute and Conditional Convergence 540 9.7 Maclaurin and Taylor Polynomials 549 9.8 Maclaurin and Taylor Series; Power Series 559 9.9 Convergence of Taylor Series 567 9.10 Differentiating and Integrating Power Series; Modeling with Taylor Series 575 10 Parametric and Polar Curves; Conic Sections 588 10.1 Parametric Equations; Tangent Lines and Arc Length for Parametric Curves 588 10.2 Polar Coordinates 600 10.3 Tangent Lines, Arc Length, and Area for Polar Curves 613 10.4 Conic Sections 622 10.5 Rotation of Axes; Second-Degree Equations 639 10.6 Conic Sections in Polar Coordinates 644 A Appendices A Trigonometry Review (Summary) App-1 B Functions (Summary) App-8 C New Functions From Old (Summary) App-11 D Families of Functions (Summary) App-16 E Inverse Functions (Summary) App-23 Ready Reference RR-1 Answers to Odd-numbered Exercises Ans-1 Index Ind-1 Web Appendices (online only) Available in WileyPLUS A Trigonometry Review B Functions C New Functions From Old D Families of Functions E Inverse Functions F Real Numbers, Intervals, and Inequalities G Absolute Value H Coordinate Planes, Lines, and Linear Functions I Distance, Circles, and Quadratic Equations J Solving Polynomial Equations K Graphing Functions Using Calculators and Computer Algebra Systems L Selected Proofs M Early Parametric Equations Option N Mathematical Models O The Discriminant P Second-Order Linear Homogeneous Differential Equations Chapter Web Projects: Expanding the Calculus Horizon (online only) Available in WileyPLUS Robotics — Chapter 2 Railroad Design — Chapter 7 Iteration and Dynamical Systems — Chapter 9 Comet Collision — Chapter 10

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Book SynopsisCalculus in Context is a compelling exploration-for students and instructors alike-of a discipline that is both rich in conceptual beauty and broad in its applied relevance.Trade ReviewThe depth of detail in each application [offered by Calculus in Context] provides an excellent structure for guiding students through the “why should we care” moments that every calculus class experiences.—Mathematical Association of AmericaRecommended.—ChoiceHahn's book is the perfect choice for college and university teachers who want to teach calculus with reference to its origins and applications.—Zentralblatt MathVery well written in an engaging and enthusiastic style: it is very suitable for first year students, is perhaps not too demanding for students about to enter university, and it is particularly useful to those with more than a passing interest in astronomy. There is plenty to learn for the reader, and the massive text is also a good reference book on calculus. This labour of love from the author more than satisfies the high hopes for a good calculus book... and I highly recommend it.—Peter Shiu, Mathematical GazetteTable of ContentsPrefacePart I1. The Astronomy and Geometry of the Greeks1.1. The Greeks Explain the Universe1.2. Achieving the Impossible?1.3. Greek Geometry1.4. The Pythagorean Theorem1.5. The Radian Measure of an Angle1.6. Greek Trigonometry1.7. Aristarchus Sizes Up the Universe1.8. Problems and Projects2. The Genius of Archimedes2.1. The Conic Sections2.2. The Question of Area2.3. Playing with Squares2.4. The Area of a Parabolic Section2.5. The Method of Archimedes2.6. Problems and Projects3. A New Astronomy3.1. A Fixed Sun at the Center3.2. Copernicus's Model of Earth's Orbit3.3. About the Distances of the Planets from the Sun3.4. Tycho Brahe and Parallax3.5. Kepler's Elliptical Orbits3.6. The Studies of Galileo3.7. The Size of the Solar System3.8. Problems and Projects4. The Coordinate Geometry of Descartes4.1. The Real Numbers4.2. The Coordinate Plane4.3. About the Parabola4.4. About the Ellipse4.5. Quadratic Equations in x and y4.6. Circles and Trigonometry4.7. Problems and Projects5. The Calculus of Leibniz5.1. Straight Lines5.2. Tangent Lines to Curves5.3. The Function Concept5.4. The Derivative of a Function5.5. Fermat, Kepler, and Wine Barrels5.6. The Definite Integral5.7. Cavalieri's Principle5.8. Differentials and the Fundamental Theorem5.9. Volumes of Revolution5.10. Problems and Projects6. The Calculus of Newton6.1. Simple Functions and Areas6.2. The Derivative of a Simple Function6.3. From Simple Functions to Power Series6.4. The Mathematics of a Moving Point6.5. Galileo and Acceleration6.6. Dealing with Forces6.7. The Trajectory of a Projectile6.8. Newton Studies the Motion of the Planets6.9. Connecting Force and Geometry6.10. The Law of Universal Gravitation6.11. Problems and ProjectsPart II7. Differential Calculus7.1. Mathematical Functions7.2. A Study of Limits7.3. Continuous Functions7.4. Differentiable Functions7.5. Computing Derivatives7.6. Some Theoretical Concerns7.7. Derivatives of Trigonometric Functions7.8. Understanding Functions7.9. Graphing Functions7.10. Exponential Functions7.11. Logarithm Functions7.12. Hyperbolic Functions7.13. Final Comments about Graphs7.14. Problems and Projects8. Applications of Differential Calculus8.1. Derivatives as Rates of Change8.1.1. Growth of Organisms8.1.2. Radioactive Decay8.1.3. Cost of Production8.2. The Pulley Problem of L'Hospital8.2.1. The Solution Using Calculus8.2.2. The Solution by Balancing Forces8.3. The Suspension Bridge8.4. An Experiment of Galileo8.4.1. Sliding Ice Cubes and Spinning Wheels8.4.2. Torque and Rotational Inertia8.4.3. The Mathematics behind Galileo's Experiment8.5. From Fermat's Principle to the Reflecting Telescope8.5.1. Fermat's Principle and the Reflection of Light8.5.2. The Refraction of Light8.5.3. About Lenses8.5.4. Refracting and Reflecting Telescopes8.6. Problems and Projects9. The Basics of Integral Calculus9.1. The Definite Integral of a Function9.2. Volume and the Definite Integral9.3. Lengths of Curves and the Definite Integral9.4. Surface Area and the Definite Integral9.5. The Definite Integral and the Fundamental Theorem9.6. Area as Antiderivative9.7. Finding Antiderivatives9.7.1. Integration by Substitution9.7.2. Integration by Parts9.7.3. Some Algebraic Moves9.8. Inverse Functions9.9. Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions9.9.1. Trigonometric Inverses9.9.2. Hyperbolic Inverses9.10. Trigonometric and Hyperbolic Substitutions9.11. Some Integral Formulas9.12. The Trapezoidal and Simpson Rules9.13. One Loop of the Sine Curve9.14. Problems and Projects10. Applications of Integral Calculus10.1. Estimating the Weight of Domes10.1.1. The Hagia Sophia10.1.2. The Roman Pantheon10.2. The Cables of a Suspension Bridge10.3. From Pocket Watch to Pseudosphere10.3.1. Volume and Surface Area of Revolution of the Tractrix10.3.2. The Pseudosphere10.4. Calculating the Motion of a Planet10.4.1. Determining Position in Terms of Time10.4.2. Determining Speed and Direction10.4.3. Earth, Jupiter, and Halley10.5. Integral Calculus and the Action of Forces10.5.1. Work and Energy, Impulse and Momentum10.5.2. Analysis of Springs10.5.3. The Force in a Gun Barrel10.5.4. The Springfield Rifle10.6. Problems and Projects11. Basics of Differential Equations11.1. First-Order Separable Differential Equations11.2. The Method of Integrating Factors11.3. Direction Fields and Euler's Method11.4. The Polar Coordinate System11.5. The Complex Plane11.6. Second-Order Differential Equations11.7. The Basics of Power Series11.8. Taylor and Maclaurin Series11.9. Solving a Second-Order Differential Equation11.10. Free Fall with Air Resistance11.10.1. Going Up11.10.2. Coming Down11.10.3. Bullets and Ping-Pong Balls11.11. Systems with Springs and Damping Elements11.11.1. The Family Sedan and the Stock Car11.12. More about Hanging Cables11.13. Problems and Projects12. Polar Calculus and Newton's Planetary Orbits12.1. Graphing Polar Equations12.2. The Conic Sections in Polar Coordinates12.3. The Derivative of a Polar Function12.4. The Lengths of Polar Curves12.5. Areas in Polar Coordinates12.6. Equiangular Spirals12.7. Centripetal Force in Cartesian Coordinates12.8. Going Polar12.9. From Conic Section to Inverse Square Law and Back Again12.10. Gravity and Geometry12.11. Spiral Galaxies12.12. Problems and ProjectsReferencesImage Credits and NotesIndex

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