Calculus Books

Book SynopsisRobert Adams is an Emeritus Professor in the Mathematics Department at the University of British Columbia. He first joined UBC in 1966 after completing a Ph.D. in Mathematics at the University of Toronto. With a keen interest in computers, mathematical typesetting, and illustration, Professor Adams became the first Canadian author in 1984 to typeset his own textbooks using TeX on a personal computer. Christopher Essex is a Professor in the Department of Applied Mathematics at the University of Western Ontario, an award-winning teacher and author. Dr. Essex did pioneering work on the thermodynamics of photon and neutrino radiation.

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Book Synopsisiii Vorwort Diese Arbeit setzt sich mit der zuverlässigen numerischen Ermittlung grund­ legender Eigenschaften von Regelungssystemen auseinander, die hinreichend gen au durch ein lineares Modell, das lediglich eine Näherung 1. Ordnung darstellt (Schwarz 1991), approximiert werden können. Neben der Steuer­ und Beobachtbarkeit stehen Eigenschaften wie die Invertierbarkeit, die Ein­ / Ausgangsentkoppelbarkeit, die Störentkoppelbarkeit und das Verhalten bei hohen Rückführverstärkungen im Mittelpunkt des Interesses. Alle diese Eigen­ schaften sind im Grunde mit entsprechend definierten Nullstellen des Systems eng verknüpft. Einen breiten Raum wird daher der Behandlung des Konzeptes der endlichen und unendlichen Nullstellen von Mehrgrößensystemen eingeräumt. An einem Modell niedriger Ordnung eines Werkzeugmaschinenantriebes wird zunächst demonstriert, wie stark numerisch ermittelte Aussagen durch die be­ grenzte Rechengenauigkeit der verwendeten Gleitpunktarithmetik beeinflußt wer­ den können. Anschließend werden dann die bekannten Kriterien zur Überprüfung der Steuerbarkeit auf ihre numerischen Eigenschaften hin untersucht. Ein Fazit dieser Untersuchung ist, daß alle Kriterien bei größeren Systemen und einer numerischen Auswertung mit einer begrenzten Anzahl von Dezimalstellen völlig falsche Ergebnisse liefern können, so daß die mit konventionellen Programmen gewonnenen Aussagen stets als "fragwürdig" angesehen werden müssen.Table of ContentsWichtige Methoden der numerischen Algebra - Steuer- und Beobachtbarkeit - Steuerbarkeitsindizes - Steuerbarkeitsmaße - Qualitative Steuerbarkeitsanalyse - Ausgangssteuerbarkeit - Pole und Nullstellen - Nullstellenstruktur im Unendlichen - Generische Nullstellenstruktur - Ein-/ Ausgangsentkoppelbarkeit - Störungsentkopplung - Modellfolgeproblem

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Book SynopsisThe student of calculus is entitled to ask what calculus is and what it can be used for. This short book provides an answer.The author starts by demonstrating that calculus provides a mathematical tool for the quantitative analysis of a wide range of dynamical phenomena and systems with variable quantities.He then looks at the origins and intuitive sources of calculus, its fundamental methodology, and its general framework and basic structure, before examining a few typical applications.The author's style is direct and pedagogical. The new student should find that the book provides a clear and strong grounding in this important technique.Table of ContentsNumbers, variables and functions; basic concepts and basic properties of functions; approximation and limit; basic structure and foundational theory of calculus; typical examples of applications and computations.

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Book SynopsisTrade Review"There are myriad introductory books on special relativity. This one distinguishes itself by working through the mathematics of relativity in a very detailed yet conversational fashion. . . . Highly recommended." * Choice *“Introducing students in small, careful steps toward an understanding of the notation and physics behind special relativity has not been undertaken at this level since the text by Taylor and Wheeler from thirty years ago. Goldberg’s approach of encouraging the reader to see the simplicity behind the seemingly complex is welcome.” -- Christopher G. Tully, author of "Elementary Particle Physics in a Nutshell"“This engaging book will shape the education of a generation of physicists and astrophysicists. It defines the conceptual and mathematical stage—spacetime—on which physics is performed. From contemporary notation in the early chapters to sophisticated applications in the late chapters, Goldberg's book will not only propel students to more advanced classes, it will ease their entry into research.” -- Daniel Fabrycky, Department of Astronomy and Astrophysics, University of Chicago“Goldberg slings the reader straight in at the deep end . . . but with enough masterly wit to keep you afloat.” * Nature, on "The Universe in the Rearview Mirror" *“Reading this book is like taking a class with the most awesome science professor ever.” -- Annalee Newitz, founding editor of io9, on "The Universe in the Rearview Mirror"“Most physics books can’t really be described as ‘rollicking,’ but most physics books aren't written by Dave Goldberg.” -- Sean Carroll, theoretical physicist at Caltech, author of "The Particle at the End of the Universe," on "The Universe in the Rearview Mirror"

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Book SynopsisTrade Review"There are myriad introductory books on special relativity. This one distinguishes itself by working through the mathematics of relativity in a very detailed yet conversational fashion. . . . Highly recommended." * Choice *“Introducing students in small, careful steps toward an understanding of the notation and physics behind special relativity has not been undertaken at this level since the text by Taylor and Wheeler from thirty years ago. Goldberg’s approach of encouraging the reader to see the simplicity behind the seemingly complex is welcome.” -- Christopher G. Tully, author of "Elementary Particle Physics in a Nutshell"“This engaging book will shape the education of a generation of physicists and astrophysicists. It defines the conceptual and mathematical stage—spacetime—on which physics is performed. From contemporary notation in the early chapters to sophisticated applications in the late chapters, Goldberg's book will not only propel students to more advanced classes, it will ease their entry into research.” -- Daniel Fabrycky, Department of Astronomy and Astrophysics, University of Chicago“Goldberg slings the reader straight in at the deep end . . . but with enough masterly wit to keep you afloat.” * Nature, on "The Universe in the Rearview Mirror" *“Reading this book is like taking a class with the most awesome science professor ever.” -- Annalee Newitz, founding editor of io9, on "The Universe in the Rearview Mirror"“Most physics books can’t really be described as ‘rollicking,’ but most physics books aren't written by Dave Goldberg.” -- Sean Carroll, theoretical physicist at Caltech, author of "The Particle at the End of the Universe," on "The Universe in the Rearview Mirror"

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Book SynopsisPractice calculus with this solutions manual For students using Calculus: One and Several Variables for classroom instruction, this complete solutions manual for chapters 1-12 provides the answer key to the one-variable problems presented in the text. Now in its tenth edition, Calculus: One and Several Variables has become known for its easy-to-understand writing style and balance of theory and application. With this solutions manual, students can apply their knowledge using the problems presented in the first 12 chapters and check their work as they go.Table of ContentsCHAPTER 1 1 CHAPTER 2 20 CHAPTER 3 37 CHAPTER 4 63 CHAPTER 5 125 CHAPTER 6 157 CHAPTER 7 186 CHAPTER 8 220 CHAPTER 9 263 CHAPTER 10 288 CHAPTER 11 322 CHAPTER 12 346

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Book SynopsisElectromagnetic complex media are artificial materials that affect the propagation of electromagnetic waves in surprising ways not usually seen in nature. This book introduces the electromagnetics of complex media through a systematic account of their mathematical theory.Trade Review"This monograph is of a very high standard, allowing the reader to learn many facets of the rapidly growing field of complex media and to get up-to-date information on a number of open research problems."--Vilmos Komornik, Mathematical ReviewsTable of ContentsPreface xi PART 1. MODELLING AND MATHEMATICAL PRELIMINARIES 1 Chapter 1. Complex Media 3 Chapter 2. The Maxwell Equations and Constitutive Relations 9 2.1 Introduction 9 2.2 Fundamentals 9 2.3 Constitutive relations 13 2.4 The Maxwell equations in complex media: A variety of problems 23 Chapter 3. Spaces and Operators 38 3.1 Introduction 38 3.2 Function spaces 38 3.3 Standard difierential and trace operators 45 3.4 Function spaces for electromagnetics 48 3.5 Traces 51 3.6 Various decompositions 52 3.7 Compact embeddings 53 3.8 The operators of vector analysis revisited 54 3.9 The Maxwell operator 56 PART 2. TIME-HARMONIC DETERMINISTIC PROBLEMS 59 Chapter 4. Well Posedness 61 4.1 Introduction 61 4.2 Solvability of the interior problem 62 4.3 The eigenvalue problem 68 4.4 Low chirality behaviour 70 4.5 Comments on exterior domain problems 74 4.6 Towards numerics 77 Chapter 5. Scattering Problems: Beltrami Fields and Solvability 83 5.1 Introduction 83 5.2 Elliptic, circular and linear polarisation of waves 84 5.3 Beltrami fields - The Bohren decomposition 86 5.4 Scattering problems: Formulation 88 5.5 An introduction to BIEs 91 5.6 Properties of Beltrami fields 96 5.7 Solvability 99 5.8 Generalised Muller's BIEs 106 5.9 Low chirality approximations 108 5.10 Miscellanea 109 Chapter 6. Scattering Problems: A Variety of Topics 112 6.1 Introduction 112 6.2 Important concepts of scattering theory 113 6.3 Back to chiral media: Scattering relations and the far-field operator 118 6.4 Using dyadics 124 6.5 Herglotz wave functions 129 6.6 Domain derivative 136 6.7 Miscellanea 140 PART 3. TIME-DEPENDENT DETERMINISTIC PROBLEMS 149 Chapter 7. Well Posedness 151 7.1 Introduction 151 7.2 The Maxwell equations in the time domain 151 7.3 Functional framework and assumptions 152 7.4 Solvability 153 7.5 Other possible approaches to solvability 158 7.6 Miscellanea 162 Chapter 8. Controllability 163 8.1 Introduction 163 8.2 Formulation 163 8.3 Controllability of achiral media: The Hilbert Uniqueness method 165 8.4 The forward and backward problems 167 8.5 Controllability: Complex media 174 8.6 Miscellanea 176 Chapter 9. Homogenisation 180 9.1 Introduction 180 9.2 Formulation 181 9.3 A formal two-scale expansion 184 9.4 The optical response region 188 9.5 General bianisotropic media 199 9.6 Miscellanea 207 Chapter 10. Towards a Scattering Theory 212 10.1 Introduction 212 10.2 Formulation 213 10.3 Some basic strategies 214 10.4 On the construction of solutions 217 10.5 Wave operators and their construction 220 10.6 Complex media electromagnetics 225 10.7 Miscellanea 229 Chapter 11. Nonlinear Problems 231 11.1 Introduction 231 11.2 Formulation 231 11.3 Well posedness of the model 232 11.4 Miscellanea 241 PART 4. STOCHASTIC PROBLEMS 245 Chapter 12. Well Posedness 247 12.1 Introduction 247 12.2 Maxwell equations for random media 248 12.3 Functional setting 249 12.4 Well posedness 250 12.5 Other possible approaches to solvability 255 12.6 Miscellanea 261 Chapter 13. Controllability 263 13.1 Introduction 263 13.2 Formulation 263 13.3 Subtleties of stochastic controllability 264 13.4 Approximate controllability I: Random PDEs 266 13.5 Approximate controllability II: BSPDEs 269 13.6 Miscellanea 272 Chapter 14. Homogenisation 275 14.1 Introduction 275 14.2 Ergodic media 276 14.3 Formulation 279 14.4 A formal two-scale expansion 282 14.5 Homogenisation of the Maxwell system 284 14.6 Miscellanea 288 PART 5. APPENDICES 291 Appendix A. Some Facts from Functional Analysis 293 A.1 Duality 293 A.2 Strong, weak and weak-* convergence 295 A.3 Calculus in Banach spaces 297 A.4 Basic elements of spectral theory 300 A.5 Compactness criteria 303 A.6 Compact operators 304 A.7 The Banach-Steinhaus theorem 308 A.8 Semigroups and the Cauchy problem 308 A.9 Some fixed point theorems 312 A.10 The Lax-Milgram lemma 313 A.11 Gronwall's inequality 314 A.12 Nonlinear operators 315 Appendix B. Some Facts from Stochastic Analysis 316 B.1 Probability in Hilbert spaces 316 B.2 Stochastic processes and random fields 318 B.3 Gaussian measures 319 B.4 The Q- and the cylindrical Wiener process 320 B.5 The Ito integral 321 B.6 Ito formula 324 B.7 Stochastic convolution 325 B.8 SDEs in Hilbert spaces 325 B.9 Martingale representation theorem 326 Appendix C. Some Facts from Elliptic Homogenisation Theory 327 C.1 Spaces of periodic functions 327 C.2 Compensated compactness 329 C.3 Homogenisation of elliptic equations 329 C.4 Random elliptic homogenisation theory 332 Appendix D. Some Facts from Dyadic Analysis (by George Dassios) 334 Appendix E. Notation and abbreviations 341 Bibliography 343 Index 377

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Book SynopsisThis textbook provides beginning graduate students and advanced undergraduates with an accessible introduction to the rich subject of partial differential equations (PDEs). It presents a rigorous and clear explanation of the more elementary theoretical aspects of PDEs, while also drawing connections to deeper analysis and applications. The book serTrade Review"This book is unique in that it provides a very comprehensive introduction to the theory of PDEs embedded in specific relevant applications in the field."--Choice "The authors provide not only a clear and rigorous explanation of the more elementary theoretical aspects of partial differential equations, but they are also concerned with tools of applied mathematics in the setting of partial differential equations... This reviewer warmly recommends this volume to mathematical university libraries."--Vicentiu D. Radulescu, Zentralblatt MATH

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Book SynopsisHow can calculus help you survive the zombie apocalypse? Colin Adams, humor columnist for the Mathematical Intelligencer and one of today's most outlandish and entertaining popular math writers, demonstrates how in this zombie adventure novel. Zombies and Calculus is the account of Craig Williams, a math professor at a small liberal arts college iTrade Review"Romance! Danger! Calculus! Zombies! Adams (How to Ace Calculus), professor of mathematics at Williams College and humor columnist for The Mathematical Intelligencer, takes readers on an apocalyptic and educational adventure that's also a Spielbergian sci-fi thriller... Adams keeps the in-story math both appropriate and accessible, saving in-depth discussion for appendices at the end. Calculus fans looking for 'real-world' applications woven into a nail-biter of a story, chock-full of narrow escapes, betrayals, some plucky kids, the family dog, and even a romantic subplot, will delight in this fun, and funny pop-math book."--Publishers Weekly starred review "The author didn't intend to write a classic horror novel, he intended to write one that explained the ideas of calculus and differential equations (particularly the latter) in a humorous and unusual setting. He has succeeded admirably. This is a book that can be enjoyed by both students and by faculty members seeking a way to spice up their lectures."--Mark Hunacek, MAA Reviews "You'll laugh! You'll cry! You'll use calculus! So much for kids who say, 'When am I ever going to use calculus?' When you're trying to survive the zombie apocalypse, that's when."--Nancy Szokan, Washington Post "A fun idea, quite well realized."--M.A.Orthofer, Complete Review "The book well deserves attention from not squeamish math instructors and a wider audience of intelligent readers, curious of a new literary genre that mixes storytelling with gentle mathematical instruction."--Alexander Bogomolny, CTK Insights "Whether you agree or disagree with the idea of mixing zombies with calculus, Adams is a craftsman of the first order. Zombies and Calculus has everything: calculus, calculation of force, statistics, normal deviation, word play, heroics, romance, slapstick, and zombies. Two bloody thumbs up!"--Robert Schaefer, New York Journal of Books "The unusual and clearly explained mathematical set-pieces are appealing... I will be recommending this book to colleagues. Let's hope they're not squeamish."--Noel-Ann Bradshaw, Times Higher Education "Adams combines mathematics and zombies in an exciting, humorous way... Zombies and Calculus would be a helpful supplemental text for a student currently studying calculus as it applies the concepts in a situation--however unrealistic--that makes it easier to understand."--Tara Creel, Deseret News "I have never met a novel in which the hero is actually teaching calculus to the ones he just rescued in between blowing out the little bit of brains from zombie heads, and smashing cars with a snow plough. Quite a reading experience."--Adhemar Bultheel, European Mathematical Society "Adams is clever to employ a zombie apocalypse scenario to demonstrate the usefulness of calculus and mathematics more broadly."--Carrie Bengston, Science Book A Day "Highly recommended for those just being introduced to calculus, or those who need a user-friendly recap of the basics. It may just help them survive--their education, that is, rather than a zombie attack!"--Rob Ashmore, Mathematics Today "Adams tells his tale with gore and humor. If you are a fan of zombies and enjoy offbeat applications of mathematics, this book is for you."--Joseph Bettina, Mathematics Teacher "I think that the book is very successful at doing what it was intended to do, namely to demonstrate the usefulness and relevance of what may seem at the first glance to be very abstract maths while teaching it in an engaging way. I would struggle to name another book that manages to couch the process of solving ODEs in quite so entertaining and humorous a manner."--Andrew Simmons, Mathematical GazetteTable of ContentsIntroduction 1 CHAPTER 1 Hour 6 3 CHAPTER 2 Hour 7 19 CHAPTER 3 Hour 7 1/2 32 CHAPTER 4 Hour 7 3/4 48 CHAPTER 5 Hour 8 63 CHAPTER 6 Hour 9 80 CHAPTER 7 Hour 10 95 CHAPTER 8 Hour 18 111 CHAPTER 9 Hour 24 137 Epilogue 152 APPENDIX A Continuing the Conversations 155 APPENDIX B A Brief Review of Calculus as Explained to Connor by Ellie 191 Acknowledgments 223 Bibliography 225 Index 227

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Book SynopsisTrade Review"There are plenty of books about managing your wealth, but The Calculus of Happiness: How a Mathematical Approach to Life Adds Up to Health, Wealth, and Love, by Oscar Fernandez of Princeton University Press, sounds intriguing."--Matthew Partridge, Money Week "[E]ngaging... Readers are sure to get a sense of how content from algebra and precalculus can help inform us about important decisions that are almost universally relevant."--Jason M. Graham, MAA Reviews "Brilliant... Where Fernandez's book scores highly is that it goes beyond being a typical self-help manual for the numerate, by presenting example after example of how mathematical topics such as probability, game theory and exponential functions really do make sense of a world that can sometimes seem so subjective. It's also an easy-going analysis of those areas in life that get brushed under the carpet, to be attended to another day. Once you realise it all boils down to maths, you will wake up happier, wealthier and healthier tomorrow morning, and we have Oscar E. Fernandez to thank for that."Nick Smith, Engineering & TechnologyTable of ContentsPreface ix Math Topics Covered by Chapter xiii I: A Healthier You Is Just a Few Equations Away 1 1 How Many Calories Should You Eat Each Day? 3 1.1 The Linear Functions Hidden in Your Diet 4 1.2 The Mathematics of Metabolism 8 1.3 Burn Those Calories! Work Those Quads! 11 1.4 The Calories Required to Digest Food 14 2 Live Longer (and Be Healthier) by Eating the Right Foods 20 2.1 A Game of Macronutrient Musical Chairs 20 2.2 How to Eat More and Be Healthier: Energy Density 29 2.3 Live Long(er) and Prosper with theWaist-Height Ratio 34 II: A Mathematician's Guide to Managing Your Money 41 3 Dissecting Your Monthly Budget 43 3.1 The Return of the King (the Linear Function) 44 3.2 To Expenses, and Beyond! 49 3.3 How Many YearsWill It Take You to Reach Financial Independence? 62 4 How to Beat Wall Street at Its Own Game 69 4.1 How to Make 15% a Year, Guaranteed 70 4.2 The Safest Investments 71 4.3 Quantifying Investment Risk and Return 73 4.4 Stocks, Bonds, and the "All-Weather" Portfolio 77 III: Looking for Love? There May Be an Equation for That 87 5 Finding "The 1" 89 5.1 What the Search for Aliens Can Teach You about FindingYour Soulmate 89 5.2 Why Hiring a Secretary Is Like Dating 92 5.3 The Stable Matching Problem 97 6 Living Happily Ever After with "The 1" 103 6.1 Your Relationship as a Dynamical System 104 6.2 Need Help Making a Joint Decision? There's an Equation for That 108 6.3 How Psychologists Use Math to Predict Divorce 113 Epilogue 118 Acknowledgments 120 Appendix A: Background Content 121 Appendix 1 123 Appendix 2 128 Appendix 3 130 Appendix 4 141 Appendix 5 143 Appendix 6 144 Bibliography 151 Index 157

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Book SynopsisTrade ReviewAmerican Association for the Advancement of Science's Books for General Audiences and Young Adults One of American Association for the Advancement of Science's Books for General Audiences and Young Adults 2014 "Fernandez's witty, delightful approach makes for a winning introduction to the wonderland of math behind the scenes of everyday life."--Publishers Weekly "Written in a bright conversational tone, [Everyday Calculus] wonderfully integrates calculus into everyday life."--Guardian "Fernandez is a delightfully quirky writer and his bookEveryday Calculusis lighthearted and compelling."--New York Journal of Books "The author earnestly and excitedly seeks to make the principles of calculus near and natural, without the intimidation of a five-pound textbook dense with equations... Fernandez invites the reader along on this work day and telegraphs an enthusiasm for seeing calculus, with hints of differential equations, presented to him. This excitement will communicate itself to the math enthusiast becoming acquainted with calculus through the author's style, which is both lively and confident."--Tom Schulte, MAA Reviews "Written in a bright conversational tone, this book wonderfully integrates calculus into everyday life."--GrrrlScientist "[T]he book is perfect for a reader who really wants to know what mathematics are governing our lives and who wants to learn and understand or polish up his rusty knowledge of these mathematics."--A. Bultheel, European Mathematical Society "A delightful read. [Everyday Calculus] will make you laugh and capture your imagination... [A] triumph in the pursuit of the lofty goal of comprehending the world."--San Francisco Book Review "Fernandez presents a broad array of ordinary events like REM sleep, drinking coffee, commuting to work, setting aside money for retirement, catching a cold, enjoying tandoori chicken, and watching a movie... [T]hen ties each aspect to pertinent mathematics... As the subtitle of the book suggests, the thrust is more one of 'discovering the hidden math all around us' rather than showing 'how mathematics is used,' which provides an honest and very pleasurable journey."--Choice "The book offers in clear and concise fashion much of the material found in a traditional calculus textbook, but presents it beginning with a real world observation and then developing the mathematics needed to understand the observation."--AAAS "A very captivating read, and certainly contains something for everyone... [E]asy to drop into for individual chapters, or to read when you have a couple hours spare. [Everyday Calculus] will certainly open the eyes of any reader who wishes to appreciate the mathematics and calculus which surrounds us."--Mathematics TodayTable of ContentsPreface ix Calculus Topics Discussed by Chapter xi CHAPTER 1 Wake Up and Smell the Functions 1 What's Trig Got to Do with Your Morning? 2 How a Rational Function Defeated Thomas Edison, and Why Induction Powers the World 5 The Logarithms Hidden in the Air 10 The Frequency of Trig Functions 14 Galileo's Parabolic Thinking 17 CHAPTER 2 Breakfast at Newton's 21 Introducing Calculus, the CNBC Way 21 Coffee Has Its Limits 25 A Multivitamin a Day Keeps the Doctor Away 30 Derivatives Are about Change 34 CHAPTER 3 Driven by Derivatives 35 Why Do We Survive Rainy Days? 36 Politics in Derivatives, or Derivatives in Politics? 39 What the Unemployment Rate Teaches Us about the Curvature of Graphs 41 America's Ballooning Population 44 Feeling Derivatives 46 The Calculus of Time Travel 47 CHAPTER 4 Connected by Calculus 51 E-Mails, Texts, Tweets, Ah! 51 The Calculus of Colds 53 What Does Sustainability Have to Do with Catching a Cold? 56 What Does Your Retirement Income Have to Do with Traffic? 58 The Calculus of the Sweet Tooth 61 CHAPTER 5 Take a Derivative and You'll Feel Better 65 I "Heart" Differentials 65 How Life (and Nature) Uses Calculus 67 The Costly Downside of Calculus 73 The Optimal Drive Back Home 75 Catching Speeders Efficiently with Calculus 77 CHAPTER 6 Adding Things Up, the Calculus Way 81 The Little Engine That Could ... Integrate 82 The Fundamental Theorem of Calculus 90 Using Integrals to Estimate Wait Times 93 CHAPTER 7 Derivatives Integrals: The Dream Team 97 Integration at Work-Tandoori Chicken 98 Finding the Best Seat in the House 101 Keeping the T Running with Calculus 104 Look Up to Look Back in Time 108 The Ultimate Fate of the Universe 109 The Age of the Universe 113 Epilogue 116 Appendix A Functions and Graphs 119 Appendices 1-7 125 Notes 147 Index 149

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Book SynopsisTrade Review"This is a book that should be part of the personal library of any mathematician."---Mark Hunacek, Mathematical Gazette

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Book SynopsisTrade Review"Finalist for the PROSE Award in Mathematics, Association of American Publishers""Needham proposes to provide a truly geometric 'visual' explication of differential geometry, and he succeeds brilliantly. I know nothing like it in the literature."---Frank Morgan, EMS Magazine"[The] book offers a truly unique and original take on differential geometry, and it amply deserves inclusion within the pantheon of textbook deities."---Eric Poisson, Notices of the AMS"This is a valuable and beautifully created guide to what can at first seem a confusing area of mathematical physics. There are other contenders that try to teach this subject, but this is the best that I have come across so far and I will continue to enjoy learning from it (and almost certainly teaching from it) over the coming years, I am sure."---Jonathan Shock, Mathemafrica"[Proactively] rethinks the way this important area of mathematics should be considered and taught." * MathSciNet *"The book is a remarkable and highly original approach to the basic stem of differential geometry. And that mathematical trunk has roots and branches in so many other unexpected yet related subjects, each of which can be equally well approached from the same geometrical point of view."---Adhemar Bultheel, MAA Reviews"[Visual Differential Geometry and Forms] its peers. It is fun to read and provides a unique and intuitive approach to differential geometry. The author’s passion for the subject is evident throughout the book. Although Needham’s approach is unorthodox, it is rewarding, and complements the exposition found in standard textbooks."---Sean M. Eli & Krešmir Josić, SIAM Review

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Book SynopsisCovering concepts, theorems and notable mathematicians, this comprehensive calculus primer covers such topics as absolute value; binomial theorem; implicit differentiation; polynomial functions; and the second derivative.

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Book SynopsisAn authoritative text that presents the current problems, theories, and applications of mathematical analysis research Mathematical Analysis and Applications: Selected Topics offers the theories, methods, and applications of a variety of targeted topics including: operator theory, approximation theory, fixed point theory, stability theory, minimization problems, many-body wave scattering problems, Basel problem, Corona problem, inequalities, generalized normed spaces, variations of functions and sequences, analytic generalizations of the Catalan, Fuss, and FussCatalan Numbers, asymptotically developable functions, convex functions, Gaussian processes, image analysis, and spectral analysis and spectral synthesis. The authorsa noted team of international researchers in the field highlight the basic developments for each topic presented and explore the most recent advances made in their area of study. The text is presented in such a way that enables the reader to fTable of ContentsPreface xv About the Editors xxi List of Contributors xxiii 1 Spaces of Asymptotically Developable Functions and Applications 1Sergio Alejandro Carrillo Torres and Jorge Mozo Fernández 1.1 Introduction and Some Notations 1 1.2 Strong Asymptotic Expansions 2 1.3 Monomial Asymptotic Expansions 7 1.4 Monomial Summability for Singularly Perturbed Differential Equations 13 1.5 Pfaffian Systems 15 References 19 2 Duality for Gaussian Processes from Random Signed Measures 23Palle E.T. Jorgensen and Feng Tian 2.1 Introduction 23 2.2 Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHSs) in the Measurable Category 24 2.3 Applications to Gaussian Processes 30 2.4 Choice of Probability Space 34 2.5 A Duality 37 2.A Stochastic Processes 40 2.B Overview of Applications of RKHSs 45 Acknowledgments 50 References 51 3 Many-Body Wave Scattering Problems for Small Scatterers and Creating Materials with a Desired Refraction Coefficient 57Alexander G. Ramm 3.1 Introduction 57 3.2 Derivation of the Formulas for One-Body Wave Scattering Problems 62 3.3 Many-Body Scattering Problem 65 3.3.1 The Case of Acoustically Soft Particles 68 3.3.2 Wave Scattering by Many Impedance Particles 70 3.4 Creating Materials with a Desired Refraction Coefficient 71 3.5 Scattering by Small Particles Embedded in an Inhomogeneous Medium 72 3.6 Conclusions 72 References 73 4 Generalized Convex Functions and their Applications 77Adem Kiliçman and Wedad Saleh 4.1 Brief Introduction 77 4.2 Generalized E-Convex Functions 78 4.3 E𝛼-Epigraph 84 4.4 Generalized s-Convex Functions 85 4.5 Applications to Special Means 96 References 98 5 Some Properties and Generalizations of the Catalan, Fuss, and Fuss–Catalan Numbers 101Feng Qi and Bai-Ni Guo 5.1 The Catalan Numbers 101 5.1.1 A Definition of the Catalan Numbers 101 5.1.2 The History of the Catalan Numbers 101 5.1.3 A Generating Function of the Catalan Numbers 102 5.1.4 Some Expressions of the Catalan Numbers 102 5.1.5 Integral Representations of the Catalan Numbers 103 5.1.6 Asymptotic Expansions of the Catalan Function 104 5.1.7 Complete Monotonicity of the Catalan Numbers 105 5.1.8 Inequalities of the Catalan Numbers and Function 106 5.1.9 The Bell Polynomials of the Second Kind and the Bessel Polynomials 109 5.2 The Catalan–Qi Function 111 5.2.1 The Fuss Numbers 111 5.2.2 A Definition of the Catalan–Qi Function 111 5.2.3 Some Identities of the Catalan–Qi Function 112 5.2.4 Integral Representations of the Catalan–Qi Function 114 5.2.5 Asymptotic Expansions of the Catalan–Qi Function 115 5.2.6 Complete Monotonicity of the Catalan–Qi Function 116 5.2.7 Schur-Convexity of the Catalan–Qi Function 118 5.2.8 Generating Functions of the Catalan–Qi Numbers 118 5.2.9 A Double Inequality of the Catalan–Qi Function 118 5.2.10 The q-Catalan–Qi Numbers and Properties 119 5.2.11 The Catalan Numbers and the k-Gamma and k-Beta Functions 119 5.2.12 Series Identities Involving the Catalan Numbers 119 5.3 The Fuss–Catalan Numbers 119 5.3.1 A Definition of the Fuss–Catalan Numbers 119 5.3.2 A Product-Ratio Expression of the Fuss–Catalan Numbers 120 5.3.3 Complete Monotonicity of the Fuss–Catalan Numbers 120 5.3.4 A Double Inequality for the Fuss–Catalan Numbers 121 5.4 The Fuss–Catalan–Qi Function 121 5.4.1 A Definition of the Fuss–Catalan–Qi Function 121 5.4.2 A Product-Ratio Expression of the Fuss–Catalan–Qi Function 122 5.4.3 Integral Representations of the Fuss–Catalan–Qi Function 123 5.4.4 Complete Monotonicity of the Fuss–Catalan–Qi Function 124 5.5 Some Properties for Ratios of Two Gamma Functions 124 5.5.1 An Integral Representation and Complete Monotonicity 125 5.5.2 An Exponential Expansion for the Ratio of Two Gamma Functions 125 5.5.3 A Double Inequality for the Ratio of Two Gamma Functions 125 5.6 Some New Results on the Catalan Numbers 126 5.7 Open Problems 126 Acknowledgments 127 References 127 6 Trace Inequalities of Jensen Type for Self-adjoint Operators in Hilbert Spaces: A Survey of Recent Results 135Silvestru Sever Dragomir 6.1 Introduction 135 6.1.1 Jensen’s Inequality 135 6.1.2 Traces for Operators in Hilbert Spaces 138 6.2 Jensen’s Type Trace Inequalities 141 6.2.1 Some Trace Inequalities for Convex Functions 141 6.2.2 Some Functional Properties 145 6.2.3 Some Examples 151 6.2.4 More Inequalities for Convex Functions 154 6.3 Reverses of Jensen’s Trace Inequality 157 6.3.1 A Reverse of Jensen’s Inequality 157 6.3.2 Some Examples 163 6.3.3 Further Reverse Inequalities for Convex Functions 165 6.3.4 Some Examples 169 6.3.5 Reverses of Hölder’s Inequality 174 6.4 Slater’s Type Trace Inequalities 177 6.4.1 Slater’s Type Inequalities 177 6.4.2 Further Reverses 180 References 188 7 Spectral Synthesis and Its Applications 193László Székelyhidi 7.1 Introduction 193 7.2 Basic Concepts and Function Classes 195 7.3 Discrete Spectral Synthesis 203 7.4 Nondiscrete Spectral Synthesis 217 7.5 Spherical Spectral Synthesis 219 7.6 Spectral Synthesis on Hypergroups 238 7.7 Applications 248 Acknowledgments 252 References 252 8 Various Ulam–Hyers Stabilities of Euler–Lagrange–Jensen General (a, b; k = a + b)-Sextic Functional Equations 255John Michael Rassias and Narasimman Pasupathi 8.1 Brief Introduction 255 8.2 General Solution of Euler–Lagrange–Jensen General (a, b; k = a + b)-Sextic Functional Equation 257 8.3 Stability Results in Banach Space 258 8.3.1 Banach Space: Direct Method 258 8.3.2 Banach Space: Fixed Point Method 261 8.4 Stability Results in Felbin’s Type Spaces 267 8.4.1 Felbin’s Type Spaces: Direct Method 268 8.4.2 Felbin’s Type Spaces: Fixed Point Method 269 8.5 Intuitionistic Fuzzy Normed Space: Stability Results 270 8.5.1 IFNS: Direct Method 272 8.5.2 IFNS: Fixed Point Method 279 References 281 9 A Note on the Split Common Fixed Point Problem and its Variant Forms 283Adem Kiliçman and L.B. Mohammed 9.1 Introduction 283 9.2 Basic Concepts and Definitions 284 9.2.1 Introduction 284 9.2.2 Vector Space 284 9.2.3 Hilbert Space and its Properties 286 9.2.4 Bounded Linear Map and its Properties 288 9.2.5 Some Nonlinear Operators 289 9.2.6 Problem Formulation 294 9.2.7 Preliminary Results 294 9.2.8 Strong Convergence for the Split Common Fixed-Point Problems for Total Quasi-Asymptotically Nonexpansive Mappings 296 9.2.9 Strong Convergence for the Split Common Fixed-Point Problems for Demicontractive Mappings 302 9.2.10 Application to Variational Inequality Problems 306 9.2.11 On Synchronal Algorithms for Fixed and Variational Inequality Problems in Hilbert Spaces 307 9.2.12 Preliminaries 307 9.3 A Note on the Split Equality Fixed-Point Problems in Hilbert Spaces 315 9.3.1 Problem Formulation 315 9.3.2 Preliminaries 316 9.3.3 The Split Feasibility and Fixed-Point Equality Problems for Quasi-Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces 316 9.3.4 The Split Common Fixed-Point Equality Problems for Quasi-Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces 320 9.4 Numerical Example 322 9.5 The Split Feasibility and Fixed Point Problems for Quasi-Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces 328 9.5.1 Problem Formulation 328 9.5.2 Preliminary Results 328 9.6 Ishikawa-Type Extra-Gradient Iterative Methods for Quasi-Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces 329 9.6.1 Application to Split Feasibility Problems 334 9.7 Conclusion 336 References 337 10 Stabilities and Instabilities of Rational Functional Equations and Euler–Lagrange–Jensen (a, b)-Sextic Functional Equations 341John Michael Rassias, Krishnan Ravi, and Beri V. Senthil Kumar 10.1 Introduction 341 10.1.1 Growth of Functional Equations 342 10.1.2 Importance of Functional Equations 342 10.1.3 Functional Equations Relevant to Other Fields 343 10.1.4 Definition of Functional Equation with Examples 343 10.2 Ulam Stability Problem for Functional Equation 344 10.2.1 𝜖-Stability of Functional Equation 344 10.2.2 Stability Involving Sum of Powers of Norms 345 10.2.3 Stability Involving Product of Powers of Norms 346 10.2.4 Stability Involving a General Control Function 347 10.2.5 Stability Involving Mixed Product–Sum of Powers of Norms 347 10.2.6 Application of Ulam Stability Theory 348 10.3 Various Forms of Functional Equations 348 10.4 Preliminaries 353 10.5 Rational Functional Equations 355 10.5.1 Reciprocal Type Functional Equation 355 10.5.2 Solution of Reciprocal Type Functional Equation 356 10.5.3 Generalized Hyers–Ulam Stability of Reciprocal Type Functional Equation 357 10.5.4 Counter-Example 360 10.5.5 Geometrical Interpretation of Reciprocal Type Functional Equation 362 10.5.6 An Application of Equation (10.41) to Electric Circuits 364 10.5.7 Reciprocal-Quadratic Functional Equation 364 10.5.8 General Solution of Reciprocal-Quadratic Functional Equation 366 10.5.9 Generalized Hyers–Ulam Stability of Reciprocal-Quadratic Functional Equations 368 10.5.10 Counter-Examples 373 10.5.11 Reciprocal-Cubic and Reciprocal-Quartic Functional Equations 375 10.5.12 Hyers–Ulam Stability of Reciprocal-Cubic and Reciprocal-Quartic Functional Equations 375 10.5.13 Counter-Examples 380 10.6 Euler-Lagrange–Jensen (a, b; k = a + b)-Sextic Functional Equations 384 10.6.1 Generalized Ulam–Hyers Stability of Euler-Lagrange-Jensen Sextic Functional Equation Using Fixed Point Method 384 10.6.2 Counter-Example 387 10.6.3 Generalized Ulam–Hyers Stability of Euler-Lagrange-Jensen Sextic Functional Equation Using Direct Method 389 References 395 11 Attractor of the Generalized Contractive Iterated Function System 401Mujahid Abbas and Talat Nazir 11.1 Iterated Function System 401 11.2 Generalized F-contractive Iterated Function System 407 11.3 Iterated Function System in b-Metric Space 414 11.4 Generalized F-Contractive Iterated Function System in b-Metric Space 420 References 426 12 Regular and Rapid Variations and Some Applications 429Ljubiša D.R. Kočinac, Dragan Djurčić, and Jelena V. Manojlović 12.1 Introduction and Historical Background 429 12.2 Regular Variation 431 12.2.1 The Class Tr(RVs) 432 12.2.2 Classes of Sequences Related to Tr(RVs) 434 12.2.3 The Class ORVs and Seneta Sequences 436 12.3 Rapid Variation 437 12.3.1 Some Properties of Rapidly Varying Functions 438 12.3.2 The Class ARVs 440 12.3.3 The Class KRs,∞ 442 12.3.4 The Class Tr(Rs,∞) 447 12.3.5 Subclasses of Tr(Rs,∞) 448 12.3.6 The Class Γs 451 12.4 Applications to Selection Principles 453 12.4.1 First Results 455 12.4.2 Improvements 455 12.4.3 When ONE has a Winning Strategy? 460 12.5 Applications to Differential Equations 463 12.5.1 The Existence of all Solutions of (A) 464 12.5.2 Superlinear Thomas–Fermi Equation (A) 466 12.5.3 Sublinear Thomas–Fermi Equation (A) 470 12.5.4 A Generalization 480 References 486 13 n-Inner Products, n-Norms, and Angles Between Two Subspaces 493Hendra Gunawan 13.1 Introduction 493 13.2 n-Inner Product Spaces and n-Normed Spaces 495 13.2.1 Topology in n-Normed Spaces 499 13.3 Orthogonality in n-Normed Spaces 500 13.3.1 G-, P-, I-, and BJ- Orthogonality 503 13.3.2 Remarks on the n-Dimensional Case 505 13.4 Angles Between Two Subspaces 505 13.4.1 An Explicit Formula 509 13.4.2 A More General Formula 511 References 513 14 Proximal Fiber Bundles on Nerve Complexes 517James F. Peters 14.1 Brief Introduction 517 14.2 Preliminaries 518 14.2.1 Nerve Complexes and Nerve Spokes 518 14.2.2 Descriptions and Proximities 521 14.2.3 Descriptive Proximities 523 14.3 Sewing Regions Together 527 14.3.1 Sewing Nerves Together with Spokes to Construct a Nervous System Complex 529 14.4 Some Results for Fiber Bundles 530 14.5 Concluding Remarks 534 References 534 15 Approximation by Generalizations of Hybrid Baskakov Type Operators Preserving Exponential Functions 537Vijay Gupta 15.1 Introduction 537 15.2 Baskakov–Szász Operators 539 15.3 Genuine Baskakov–Szász Operators 542 15.4 Preservation of eAx 545 15.5 Conclusion 549 References 550 16 Well-Posed Minimization Problems via the Theory of Measures of Noncompactness 553Józef Banaś and Tomasz Zając 16.1 Introduction 553 16.2 Minimization Problems and Their Well-Posedness in the Classical Sense 554 16.3 Measures of Noncompactness 556 16.4 Well-Posed Minimization Problems with Respect to Measures of Noncompactness 565 16.5 Minimization Problems for Functionals Defined in Banach Sequence Spaces 568 16.6 Minimization Problems for Functionals Defined in the Classical Space C([a, b])) 576 16.7 Minimization Problems for Functionals Defined in the Space of Functions Continuous and Bounded on the Real Half-Axis 580 References 584 17 Some Recent Developments on Fixed Point Theory in Generalized Metric Spaces 587Poom Kumam and Somayya Komal 17.1 Brief Introduction 587 17.2 Some Basic Notions and Notations 593 17.3 Fixed Points Theorems 596 17.3.1 Fixed Points Theorems for Monotonic and Nonmonotonic Mappings 597 17.3.2 PPF-Dependent Fixed-Point Theorems 600 17.3.3 Fixed Points Results in b-Metric Spaces 602 17.3.4 The generalized Ulam–Hyers Stability in b-Metric Spaces 604 17.3.5 Well-Posedness of a Function with Respect to 𝛼-Admissibility in b-Metric Spaces 605 17.3.6 Fixed Points for F-Contraction 606 17.4 Common Fixed Points Theorems 608 17.4.1 Common Fixed-Point Theorems for Pair of Weakly Compatible Mappings in Fuzzy Metric Spaces 609 17.5 Best Proximity Points 611 17.6 Common Best Proximity Points 614 17.7 Tripled Best Proximity Points 617 17.8 Future Works 624 References 624 18 The Basel Problem with an Extension 631Anthony Sofo 18.1 The Basel Problem 631 18.2 An Euler Type Sum 640 18.3 The Main Theorem 645 18.4 Conclusion 652 References 652 19 Coupled Fixed Points and Coupled Coincidence Points via Fixed Point Theory 661Adrian Petruşel and Gabriela Petruşel 19.1 Introduction and Preliminaries 661 19.2 Fixed Point Results 665 19.2.1 The Single-Valued Case 665 19.2.2 The Multi-Valued Case 673 19.3 Coupled Fixed Point Results 680 19.3.1 The Single-Valued Case 680 19.3.2 The Multi-Valued Case 686 19.4 Coincidence Point Results 689 19.5 Coupled Coincidence Results 699 References 704 20 The Corona Problem, Carleson Measures, and Applications 709Alberto Saracco 20.1 The Corona Problem 709 20.1.1 Banach Algebras: Spectrum 709 20.1.2 Banach Algebras: Maximal Spectrum 710 20.1.3 The Algebra of Bounded Holomorphic Functions and the Corona Problem 710 20.2 Carleson’s Proof and Carleson Measures 711 20.2.1 Wolff’s Proof 712 20.3 The Corona Problem in Higher Henerality 712 20.3.1 The Corona Problem in ℂ 712 20.3.2 The Corona Problem in Riemann Surfaces: A Positive and a Negative Result 713 20.3.3 The Corona Problem in Domains of ℂn 714 20.3.4 The Corona Problem for Quaternionic Slice-Regular Functions 715 20.3.4.1 Slice-Regular Functions f ∶ D → ℍ 715 20.3.4.2 The Corona Theorem in the Quaternions 717 20.4 Results on Carleson Measures 718 20.4.1 Carleson Measures of Hardy Spaces of the Disk 718 20.4.2 Carleson Measures of Bergman Spaces of the Disk 719 20.4.3 Carleson Measures in the Unit Ball of ℂn 720 20.4.4 Carleson Measures in Strongly Pseudoconvex Bounded Domains of ℂn 722 20.4.5 Generalizations of Carleson Measures and Applications to Toeplitz Operators 723 20.4.6 Explicit Examples of Carleson Measures of Bergman Spaces 724 20.4.7 Carleson Measures in the Quaternionic Setting 725 20.4.7.1 Carleson Measures on Hardy Spaces of 𝔹 ⊂ ℍ 725 20.4.7.2 Carleson Measures on Bergman Spaces of 𝔹 ⊂ ℍ 726 References 728 Index 731

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Book Synopsis

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Book SynopsisDivided into two self-contained parts, this textbook is an introduction to modern real analysis. More than 350 exercises and 100 examples are integrated into the text to help clarify the theoretical considerations and the practical applications to differential geometry, Fourier series, differential equations, and other subjects. The first section of Classical Analysis of Real-Valued Functions covers the theorems of existence of supremum and infimum of bounded sets on the real line and the Lagrange formula for differentiable functions. Applications of these results are crucial for classical mathematical analysis, andmany are threaded through the text. In the second part of the book, the implicit function theorem plays a central role, while the Gauss–Ostrogradskii formula, surface integration, Heine–Borel lemma, the Ascoli–Arzelà theorem, and the one-dimensional indefinite Lebesgue integral are also covered. This book is intended for students in the first and second years of classical universities majoring in pure and applied mathematics, but students of engineering disciplines will also gain important and helpful insights. It is appropriate for courses in mathematical analysis, functional analysis, real analysis, and calculus and can be used for self-study as well.

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Book SynopsisThis book offers readers the methods that are necessary to apply the power of calculus to analyze real problems.

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Book SynopsisIn recent years, technological progress created a great need for complex mathematical models. Many practical problems can be formulated using optimization theory and they hope to obtain an optimal solution. In most cases, such optimal solution can not be found. So, non-convex optimization problems (arising, e.g., in variational calculus, optimal control, nonlinear evolutions equations) may not possess a classical minimizer because the minimizing sequences have typically rapid oscillations. This behavior requires a relaxation of notion of solution for such problems; often we can obtain such a relaxation by means of Young measures. This monograph is a self-contained book which gathers all theoretical aspects related to the defining of Young measures (measurability, disintegration, stable convergence, compactness), a book which is also a useful tool for those interested in theoretical foundations of the measure theory. It provides a complete set of classical and recent compactness results in measure and function spaces. The book is organized in three chapters: The first chapter covers background material on measure theory in abstract frame. In the second chapter the measure theory on topological spaces is presented. Compactness results from the first two chapters are used to study Young measures in the third chapter. All results are accompanied by full demonstrations and for many of these results different proofs are given. All statements are fully justified and proved.Table of ContentsPreface 1 Weak Compactness in Measure Spaces 1.1 Measure spaces 1.2 Radon-Nikodym theorem. The dual of L1 1.3 Convergences in L1(l) and ca(A) 1.4 Weak compactness in ca(A) and L1(l) 1.5 The bidual of L1(l) 1.6 Extensions of Dunford-Pettis' theorem 2 Bounded Measures on Topological Spaces 2.1 Regular measures 2.2 Polish spaces. Suslin spaces 2.3 Narrow topology 2.4 Compactness results 2.5 Metrics on the space (Rca+(BT ), T) 2.6 Wiener measure 3 Young Measures 3.1 Preliminaries 3.2 Definitions. Examples 3.3 The stable topology 3.4 The subspace M(S) Y(S) 3.5 Compactness 3.6 Biting lemma 3.7 Product of Young measures 3.8 Jordan finite tight sets 3.9 Strong compactness in Lp(μ,E) References Index

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Book SynopsisAusführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis: von der Einführung der reellen Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendre-Transformationen, elliptische Funktionen und Distributionen. Ausgerichtet auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und in detaillierter Herangehensweise an die Integral- und Differentialrechnung. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. In Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung einer Variablen, erweitert um die Differentialrechnung mehrerer Variablen. Trade ReviewAus den Rezensionen der englischen Ausgabe: "Diese profunde Einführung [Math.Analysis I und II] in die Analysis sollte in keiner mathematischen Bibliothek fehlen, selbst bei budgetären Restriktionen, trotz der Überfülle an Einführungsbüchern. Eine genaue, bewußte Lektüre dieses profunden Werks könnte mögliche künftige Autoren mittelmäßiger Analysisbücher vielleicht abschrecken. [...]Meisterhaft wird hier intuitives Verstehen gefördert, vermittelt durch anschauliche geometrische Denkweisen, heuristische Ideen und induktive Vorgangsweisen, ohne Exaktheitsansprüche hintanzustellen oder konkrete Details oder Anwendungen auch nur ansatzweise zu vernachlässigen. Der Aufbau ist in vieler Hinsicht ungewöhnlich, eröffnet frühe Einblicke und Weitblicke und regt zum Denken an [...], ist auch der historischen Entwicklung angemessen und bietet eine wichtige Alternative zu den vielen "eleganten" Zugängen, bei denen die Vermittlung wichtiger nötiger Entwicklungsschritte für ein aktives Verständnis zu kurz kommt. Der umfassende, Nachbardisziplinen laufend berührende Zugang trägt reiche Früchte, ebenso die facettenreiche Fülle an Erklärungen der Wurzeln und Essenz der grundlegenden Konzepte und Resultate, die Beschreibungen von Zusammenhängen und Ausblicke auf weitere Entwicklungen mit vielen in Einführungsbüchern leider eher unüblichen Anwendungen und Querbezügen [...]. Man erwirbt mit diesem Werk zusätzlich ein vollständiges, umfangreiches und wertvolles "Problem-Buch". Bei aller reichhaltiger Fülle stellt sich die Mathematik hier aber immer als eine Einheit dar, in ihrer auf den heutigen Stellenwert Bezug nehmenden historischen und philosophischen Entwicklung, geprägt durch, an passender Stelle kompetent gewürdigte, bedeutende große schöpferische Persönlichkeiten. [...] Dieses vorzügliche Werk atmet den Geist einer bewunderungswürdigen, vielschichtigen Forscher- und Lehrerpersönlichkeit." H.Rindler, Monatshefte für Mathematik 146, Issue 4, 2005 "Die vorliegenden zwei Bände sind die englische Übersetzung eines russischen Werkes, das bereits Anfang der achtziger Jahre erschienen ist und inzwischen bereits zum vierten Mal aufgelegt wurde. Die Bücher beinhalten auf über 1200 Seiten die klassische Analysis in einer zeitgemäßen Darstellung sowie Querverbindungen zu Algebra, Differenzailgleichungen, Differenzialgeometrie, komplexe Analysis und Funktionalanlaysis. Addressaten sind Studenten (und Lehrende), die neben einer strengen mathematischen Theorie auch konkrete Anwendungen suchen... Dieses ausgezeichnete Werk kann Studienanfängern und fortgeschrittenen Studierenden uneingeschränkt empfohlen werden, aber auch Lehrende werden viele Anregungen darin finden." M.Kronfellner (Wien), IMN - Internationale Mathematische Nachrichten 59, Issue 198, 2005, S. 36-37 Aus den Rezensionen: "Der umfangreiche Band enthält den … Stoff einer Analysisvorlesung … Viel Raum wird … der Behandlung der Grundlagen gewidmet. … Im weiteren Verlauf beleben dann immer wieder naturwissenschaftliche und technische Anwendungen die mathematische Theorie. Jeder Abschnitt endet mit Aufgabenstellungen. Bei aller mathematischen Strenge sind die Ausführungen verständlich und vermeiden nicht unbedingt erforderliche abstrakte Ausweitungen … Empfehlenswert als Begleitlektüre zum Studium." (Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst Einkaufszentrale für öffentliche Bibliotheken, 2006, Issue 52)Table of ContentsInhaltsverzeichnis 1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen . . . . . 1 1.1 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Bindew¨orter und Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hinweise zu Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Abschließende Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Der Begriff einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Elementare Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen . . . 18 1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion . . 20 1.3.5 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Erg¨anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen) . . . . . . . . 27 1.4.2 Axiome der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.4 ¨Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen . . . . . . . . . 42 2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46 2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion . . . . . 49 XVI Inhaltsverzeichnis 2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Das archimedische Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.1 Der Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . 86 3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.4 Elementares zu Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2.1 Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . 116 3.2.3 Grenzwert auf einer Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion . . . . . . . . . . . . . 137 3.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . 157 4.1.2 Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2.1 Lokale Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . 167 4.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5 Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1 Differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen . . . . . . . 181 5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . 186 5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Inhaltsverzeichnis XVII 5.1.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.2 Wichtige Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen . . . . . . . . 201 5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) 205 5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.2.4 Ableitungstabelle der Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 213 5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion 213 5.2.6 Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.2.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.3 Die zentralen S¨atze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle . . . . . . . . . . 223 5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy. . . . . . . . . . 225 5.3.3 Die Taylorschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 5.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.4 Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen . . . . . . . 246 5.4.1 Bedingungen f¨ur die Monotonie einer Funktion . . . . . . . . 246 5.4.2 Bedingungen f¨ur ein inneres Extremum einer Funktion . 247 5.4.3 Bedingungen f¨ur die Konvexit¨at einer Funktion . . . . . . . 253 5.4.4 Die Regel von L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen . . . . . . . 263 5.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.5 Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 5.5.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern . . 280 5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . 285 5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung . . . . . . 288 5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des K¨orpers C . . . . . . . . 293 5.5.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften . 301 5.6.1 Bewegung eines K¨orpers mit ver¨anderlicher Masse . . . . . 302 5.6.2 Die barometrische H¨ohenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren . . . . . . . . . . . . . . 306 5.6.4 In der Atmosph¨are fallende K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x . . . . . . . . . . . 310 5.6.6 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 5.6.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.7 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral . . . . . . 321 5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 329 5.7.4 Stammfunktionen der Form R R(cos x, sin x) dx . . . . . . . . 333 5.7.5 Stammfunktionen der Form R R(x, y(x)) dx . . . . . . . . . . . 335 5.7.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 XVIII Inhaltsverzeichnis 6 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 6.1.1 Problemstellung und einf¨uhrende Betrachtungen . . . . . . 345 6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . 349 6.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 6.2 Linearit¨at, Additivit¨at und Monotonie des Integrals . . . . . . . . . . 365 6.2.1 Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] 365 6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion . . . . . . . . 365 6.2.3 Absch¨atzung, Monotonie und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . 368 6.2.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 6.3 Das Integral und die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung 380 6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . 381 6.3.4 ¨Anderung der Variablen in einem Integral . . . . . . . . . . . . 383 6.3.5 Einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 6.3.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral . . . . . . . . . 393 6.4.2 Bogenl¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 6.4.3 Die Fl¨ache eines krummlinigen Trapezes . . . . . . . . . . . . . . 402 6.4.4 Volumen eines Drehk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.4.5 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 6.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 6.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften . . . . . . . 413 6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals . . . . . . . . . . . . 418 6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularit¨at . 425 6.5.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 7 Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 7.1 Der Raum Rm und seine Unterr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 7.1.1 Die Menge Rm und der Abstand in dieser Menge . . . . . . 432 7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . 433 7.1.3 Kompakte Mengen in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 7.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler . 438 7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 444 7.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Inhaltsverzeichnis XIX 8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler . . . 451 8.1 Die lineare Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.1.1 Rm als Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 8.1.2 Lineare Transformationen L : Rm ! Rn . . . . . . . . . . . . . . 452 8.1.3 Die Norm in Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1.4 Die euklidische Struktur auf Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 8.2 Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . 456 8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt . 456 8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten . . 457 8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung . . . . 460 8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.3.1 Linearit¨at der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel) . . . . . . 465 8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 8.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.4.1 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 8.4.2 Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Differenzierbarkeit 480 8.4.3 Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 481 8.4.4 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . 486 8.4.6 Einige geometrische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 8.4.7 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.5 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . 506 8.5.3 ¨Ubergang zur Gleichung F(x1, . . . , xm, y) = 0 . . . . . . . . . 510 8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.5.5 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion . . . . . . . . . . . 522 8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . 527 8.6.3 Funktionale Abh¨angigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . 534 8.6.5 Das Morse-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 8.6.6 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 8.7 Fl¨achen in Rn und bedingte Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 8.7.1 k-dimensionale Fl¨achen in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 8.7.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 8.7.4 ¨Ubungen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 XX Inhaltsverzeichnis Einige Aufgaben aus den Halbjahrespr¨ufungen . . . . . . . . . . . . . . . . 571 1. Einf¨uhrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte) . . . . . . 571 2. Differentialrechnung in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 3. Integration und Einf¨uhrung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . 574 4. Differentialrechnung mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 Pr¨ufungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 1. Erstes Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen . . . . 579 2. Zweites Semester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen . 581 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1. Klassische Werke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.1 Orginalquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke . . . . . . . . . . . . . . . 585 1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten H¨alfte des 20. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 2. Lehrb¨ucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 3. Studienunterlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 4. Weiterf¨uhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

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Book SynopsisDer vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IRn mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik relevant sind. Für die 8. Auflage wurde der Text sorgfältig durchgesehen sowie an einigen Stellen ergänzt und es kamen neue Abbildungen hinzu.Table of ContentsMaßtheoretische Grundlagen.- Das Lebesguesche Integral.- Konvergenzsätze der Integrationstheorie.- Die Lp-Räume.- Fouriertransformation - Integration auf Untermannigfaltigkeiten.- Der Gaußsche Integralsatz.- Potentialgleichung.- Distributionen.- Differentialformen.- Stokesscher Integralsatz.

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Book SynopsisDieses Buch ist als Ergänzung zu dem Lehrbuch Analysis 1 von Otto Forster gedacht. Zu den ausgewählten Aufgaben wurden Lösungen ausgearbeitet, manchmal auch nur Hinweise oder bei Rechenaufgaben die Ergebnisse, so dass genügend viele ungelöste Aufgaben als Herausforderung für den Leser übrig bleiben. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik und Physik der ersten Semester beim Selbststudium (z.B. bei Prüfungsvorbereitungen). Die vorliegende 7. Auflage wurde um einige neue Aufgaben und Lösungen erweitert.Table of ContentsVollständige Induktion.- Grenzwerte von Folgen und Reihen.- Stetige Funktionen.- Die Elementaren Funktionen.- Differentialrechnung.- Das Riemannsche Integral.- Taylor- und Fourier-Reihen.

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Book SynopsisDas Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2.Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.Trade Review"Das Buch schließt mit einem fast unterhaltsamen Abschnitt über "Englisch für Mathematiker" der ebenfalls wie das gesamte Werk auch Nicht-Mathematikern zur Lektüre, zur Vertiefung und als Ergänzung zu den einschlägigen Vorlesungen empfohlen sei." ImpulsE, 12/2007Table of ContentsFunktionenräume - Integration - Anwendungen der Integralrechnung - Differentialrechnung im R^n - Mathematische Ausblicke: Lebesgue-Integral, Fourierreihen, Mehrfachintegrale - Englisch für Mathematiker

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