Description
Book SynopsisThis book provides a comprehensive algebraic treatment of hypergroups, as defined by F. Marty in 1934. It starts with structural results, which are developed along the lines of the structure theory of groups. The focus then turns to a number of concrete classes of hypergroups with small parameters, and continues with a closer look at the role of involutions (modeled after the definition of group-theoretic involutions) within the theory of hypergroups. Hypergroups generated by involutions lead to the exchange condition (a genuine generalization of the group-theoretic exchange condition), and this condition defines the so-called Coxeter hypergroups. Coxeter hypergroups can be treated in a similar way to Coxeter groups. On the other hand, their regular actions are mathematically equivalent to buildings (in the sense of Jacques Tits). A similar equivalence is discussed for twin buildings. The primary audience for the monograph will be researchers working in Algebra and/or Algebraic Combinatorics, in particular on association schemes.
Table of Contents1 Basic Facts : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
1.1 Neutral Elements and Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Complex Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Thin Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Groups and Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Actions of Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Hypergroups Admitting Regular Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Association Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Closed Subsets : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 27
2.1 Basic Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Dedekind Modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Generating Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 The Thin Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Foldings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Elementary Structure Theory: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47
3.1 Centralizers and Normalizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Su cient Conditions for Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Strong Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Computations in Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 The Homomorphism Theorem and the Isomorphism Theorems . . . . . . . . . . 71
4 Subnormality and Thin Residues : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79
4.1 Subnormal Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Composition Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 The Thin Residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Thin Residues of Thin Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Residually Thin Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.6 Finite Residually Thin Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7 Solvable Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Tight Hypergroups : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
5.1 Tight Hypergroup Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 The Set S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 The Sets a b \ Fc and Sa;b(Fc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 The Sets bf1b \ Fa and Sb;(f1;:::;fn)(Fa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Structure Constants of Finite Tight Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 Rings Arising from Certain Finite Tight Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.7 Finite Metathin Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.8 Finite Metathin Hypergroups with Restricted Thin Residue . . . . . . . . . . . . 132
6 Involutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137
6.1 Basic Facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Cosets of Closed Subsets Generated by an Involution, I . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Cosets of Closed Subsets Generated by an Involution, II . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 Cosets of Closed Subsets Generated by an Involution, III . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5 Length Functions De ned by Sets of Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 Hypergroups Generated by Two Distinct Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.7 Dichotomy and the Exchange Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.8 Projective Hypergroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Hypergroups with a Small Number of Elements : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 171
7.1 Hypergroups of Cardinality at Most 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.2 Non-Symmetric Hypergroups of Cardinality 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3 Hypergroups of Cardinality 6 with a Non-Normal Closed Subset, I . . . . . . 190
7.4 Hypergroups of Cardinality 6 with a Non-Normal Closed Subset, II . . . . . . 202
7.5 Non-Normal Closed Subsets Missing Four Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.6 Non-Normal Closed Subsets Missing Four Elements and Thin Elements . . 221
8 Constrained Sets of Involutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 223
8.1 Basic Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.2 Constrained Sets of Involutions and Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.3 Constrained Sets of Involutions and the Thin Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.4 Constrained Sets of Involutions and Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.5 Constrained Sets of Non-Thin Involutions and Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . 239
8.6 Constrained Sets of Involutions and Foldings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.7 Dichotomic Constrained Sets of Involutions and Foldings . . . . . . . . . . . . . . . 248
9 Coxeter Sets of Involutions : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 251
9.1 General Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.2 The Sets V1(U) for Subsets U of Coxeter Sets V of Involutions . . . . . . . . . . 256
9.3 The Sets V����1(U) for Subsets U of Coxeter Sets V of Involutions . . . . . . . . . 263
9.4 Sets of Subsets of Coxeter Sets of Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.5 Spherical Coxeter Sets of Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.6 Subsets of Spherical Coxeter Sets of Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.7 Coxeter Sets of Involutions and Foldings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.8 Coxeter Sets of Involutions and Their Coxeter Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.9 Coxeter Sets of Involutions and Type Preserving Bijections . . . . . . . . . . . . . 286
10 Regular Actions of (Twin) Coxeter Hypergroups: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 293
10.1 Buildings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.2 Twin Buildings, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.3 Twin Buildings, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.4 Regular Actions of Coxeter Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.5 Regular Actions of Twin Coxeter Hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 333
