Description
Book SynopsisDer Einstieg in die Topologische Datenanalysis (TDA) fällt oft nicht leicht, da sie auf der Algebraischen Topologie beruht, einem Gebiet der reinen Mathematik. Mit dieser Einleitung wollen wir Interessierte (Studierende, Data Scientists, aber auch Mathematiker:innen) an die Hand nehmen, indem wir die primär notwendigen Grundlagen dieses komplexen Bereichs der Mathematik zur Verfügung stellen. Dies geschieht vor allem im Hinblick auf Anwendbarkeit in der Datenanalyse, welcher sich dann die späteren Kapitel des Buches widmen. So hoffen wir, sowohl Informatikern und praktizierenden Data Scientists den eher theoretischen Aspekt, sowie Mathematikern den praktischen, anwendungsorientierten Anteil näher bringen zu können. Dazu werden für wichtige Beispiele Bibliotheken (Python) vorgestellt und Pseudocode oder kleine Jupyter-Notebooks zur Verfügung gestellt. Auch Aspekte der Laufzeit werden, wo relevant, angesprochen. Das alles geschieht im theoretischen Umfeld der Mathematik, so dass die zwei Seiten der TDA, Informatik und Mathematik, ihr Miteinander finden.
Table of Contents1 Homotopien1.1 Homotopien – Formalisiertes Morphing1.2 Wege und Weghomotopien1.3 Beispiele und Überlegungen1.4 Retrakte2 Die Fundamentalgruppe2.1 Gruppoide Eigenschaften und die Fundamentalgrupppe2.2 Wirkung stetiger Abbildungen2.3 Wirkung von Homotopien2.4 Konstruktionismus und Reduktion2.5 Beispiele2.6 Ausblick: Fundamentalgruppe des Kreises und Überlagerungen3 Simpliziale Strukturen3.1 Simplexe und Simplizialkomplexe3.2 Filtrierung3.3 Motivation der Homologie3.4 Der Aufbau von Simplexen3.5 Der Randoperator3.6 Simpliziale Homologie3.7 Koeffizienten und Z2 Homologie3.8 Beispielberechnungen von Ck;Bk;Zk und Hk3.9 Die Bedeutung von H03.10 Simpliziale Topologie4 Homologie4.1 Die Eulercharakteristik4.2 Simpliziale und singuläre Homologie4.3 Berechnen von Homologie4.4 Bettizahlen und Torsion4.5 Homologien-Zoo und Axiomatik4.6 Anwendungen5 Topologie aus Daten5.1 Von Daten zum Simplizialkomplex 5.2 Visualisierung und Exploration 5.3 Homologie aus Daten 5.4 Maschinelles Lernen 5.5 Zeitreihen 6 Anwendungen 6.1 Collapse: Homotopieäquivalente Simplizialkomplexe 6.2 Mapper Cluster Pakete 6.3 Triangulierung 6.4 Smith Normalform und Randmatrix Reduzierung 6.5 Graphen, Bäume und die Laplace-Matrix 6.6 Innere Produkte und die kombinatorische Laplace-Matrix 6.7 Weitere Eigenheiten der Laplace-Matrix6.8 Bibliotheken 7 Ausblicke7.1 Baryzentrische Unterteilung und der Satz von van Kampen7.2 Homotopiegruppen höherer Dimension 7.3 Mannigfaltigkeiten 7.4 Kategorientheorie 7.5 Garben Literaturverzeichnis Glossar Sachverzeichnis
