Description

Book Synopsis


Table of Contents
1. Mathematische Grundlagen.- 1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten.- 1.1.1. Definition der Feldgröße.- 1.1.2. Änderung (Differentiation) der Feldgrößen.- 1.2. Integration der Feldgrößen.- 1.2.1. Kurvenintegrale.- 1.2.2. Flächenintegrale.- 1.3. Tensoren.- 1.3.1. Der Begriff des Tensorfeldes.- 1.3.2. Rechenregeln für Tensoren in kartesischen Koordinatensystemen.- 1.3.3. Der 5-Tensor und e-Tensor.- 1.4. Koordinatentransformationen.- 1.5. Einfachste Differentialoperatoren.- 1.5.1. Die Divergenz und der Satz von Gauß.- 1.5.2. Die Rotation und der Satz von Stokes.- 1.5.3. Sprungflächenoperatoren.- 1.5.4. Divergenz und Rotor in krummlinigen Koordinaten.- 1.6. Übungsbeispiele zu Kap. 1.- 2. Partielle Differentialgleichungen der Physik.- 2.1. Die Poissonsche Differentialgleichung.- 2.1.1. Beschreibung eines Feldes durch Quellen und Wirbel.- 2.1.2. Eindeutigkeit der Lösung. Randbedingungen.- 2.2. Die partielle Differentialgleichung von Schwingungsvorgängen.- 2.2.1. Die schwingende Saite.- 2.2.2. Die schwingende Membran und räumliche Schwingungen.- 2.3. Die Differentialgleichungen der Diffusion und Wärmeleitung.- 2.4. Einfachste Differentialgleichungen der Quantenmechanik.- 2.5. Übungsbeispiele zu Kap. 2.- 3. Lösungsansätze für partielle Differentialgleichungen.- 3.1. Trennung der Variablen.- 3.2. Die Laplacegleichung.- 3.2.1. Die Laplacegleichung für ein Rechteck.- 3.2.2. Die Laplacegleichung in Polarkoordinaten.- 3.3. Die schwingende Saite.- 3.3.1. Die beidseitig eingespannte schwingende Saite.- 3.3.2. Die d’Alembertsche Lösung der schwingenden Saite.- 3.4. Übungsbeispiele zu Kap. 3.- 4. Rand und Eigenwertaufgaben.- 4.1. Problemstellung.- 4.2. Sturm-Liouville-Differentialoperatoren.- 4.2.1. Selbstadjungierte Differentialoperatoren.- 4.2.2. Sturm-Liouville-Randwertaufgaben.- 4.2.3. Sturm-Liouville-Eigenwertaufgaben.- 4.2.4. Die Sturm-Liouville -Transformation.- 4.3. Der Entwicklungssatz.- 4.3.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen.- 4.3.2. Der Entwicklungssatz für beschränkte Intervalle.- 4.4. Die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe.- 4.5. Die inhomogene Randwertaufgabe.- 4.6. Nadelartige Funktionen.- 4.7. Ergänzungen und Bemerkungen.- 4.8. Übungsbeispiele zu Kap. 4.- 5. Singuläre Differentialgleichungen.- 5.1. Der Begriff der singulären Differentialgleichung. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 5.2. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.3. Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.4. Übungsbeispiele zu Kap. 5.- 6. Spezielle Funktionen.- 6.1. Kugelfunktionen.- 6.1.1. Die Laplacegleichung in Kugelkoordinaten.- 6.1.2. Die Legendreschen Polynome und ihre erzeugende Funktion.- 6.1.3. Die Formel vom Rodrigues.- 6.1.4. Die Integraldarstellung von Laplace.- 6.1.5. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen.- 6.1.6. Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.1.7. Das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen.- 6.1.8. Der Entwicklungssatz nach Kugelflächenfunktionen.- 6.1.9. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie.- 6.2. Zylinderfunktionen.- 6.2.1. Die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten.- 6.2.2. Besselfunktionen.- 6.2.3. Besselfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.2.4. Integraldarstellung und erzeugende Funktion der Besselfunktion Jn (?).- 6.2.5. Das Additionstheorem der Besselfunktionen mit ganzzahligem Zeiger.- 6.2.6. Die Wellengleichung. Sphärische Besselfunktionen.- 6.2.7. Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelwellen.- 6.2.8. Asymptotische Darstellungen für sphärische Besselfunktionen.- 6.3. Hermitesche und Laguerresche Polynome.- 6.3.1. Der harmonische Oszillator (Hermitesche Polynome).- 6.3.2. Die erzeugende Funktion der Hermiteschen Polynome.- 6.3.3. Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom (Laguerresche Polynome).- 6.4. Übungsbeispiele zu Kap. 6.- 7. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.1. Problemstellung.- 7.2. Testfunktionen.- 7.3. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.4. Die Diracsche Deltafunktion.- 7.5. Die Derivierte einer verallgemeinerten Funktion.- 7.6. Produkte von verallgemeinerten Funktionen. Das Funktional ?(g(x)).- 7.7. Die uneigentliche Funktion ?(1/r).- 7.8. Ergänzungen und Bemerkungen.- 7.9. Übungsbeispiele zu Kap. 7.- 8. Die Methode der Greenschen Funktionen für partielle Differentialgleichungen.- 8.1. Die klassische Lösung der Poissongleichung.- 8.2. Greensche Funktionen und die Deltafunktion.- 8.3. Die Greensche Funktion der Poissongleichung.- 8.3.1. Der eindimensionale Fall.- 8.3.2. Der dreidimensionale Fall mit natürlichen Randbedingungen.- 8.4. Die Greensche Funktion der Wärmeleitung (Diffusion).- 8.4.1. Die Wärmeleitung im unendlich langen Stab.- 8.4.2. Anfangs- und Randbedingungen der homogenen Wärmeleitungsgleichung.- 8.4.3. Die Wärmeleitung im Raum.- 8.5. Die Greenschen Funktionen der Wellengleichung und ihrer Verallgemeinerungen.- 8.5.1. Allgemeine Randbedingungen.- 8.5.2. Greensche Funktionen im unendlichen Raum.- 8.6. Übungsbeispiele zu Kap. 8.- A. Funktionentheorie.- B. Die Gammafunktion.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.

Einführung in die mathematischen Methoden der

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      Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
      Publication Date: 01/01/1976
      ISBN13: 9783528033194, 978-3528033194
      ISBN10: 3528033193
      Also in:
      Interdisciplinary studies Education / Educational sciences / Pedagogy Mathematical / Computational / Theoretical physics

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      Table of Contents
      1. Mathematische Grundlagen.- 1.1. Der Begriff des Feldes und des Gradienten.- 1.1.1. Definition der Feldgröße.- 1.1.2. Änderung (Differentiation) der Feldgrößen.- 1.2. Integration der Feldgrößen.- 1.2.1. Kurvenintegrale.- 1.2.2. Flächenintegrale.- 1.3. Tensoren.- 1.3.1. Der Begriff des Tensorfeldes.- 1.3.2. Rechenregeln für Tensoren in kartesischen Koordinatensystemen.- 1.3.3. Der 5-Tensor und e-Tensor.- 1.4. Koordinatentransformationen.- 1.5. Einfachste Differentialoperatoren.- 1.5.1. Die Divergenz und der Satz von Gauß.- 1.5.2. Die Rotation und der Satz von Stokes.- 1.5.3. Sprungflächenoperatoren.- 1.5.4. Divergenz und Rotor in krummlinigen Koordinaten.- 1.6. Übungsbeispiele zu Kap. 1.- 2. Partielle Differentialgleichungen der Physik.- 2.1. Die Poissonsche Differentialgleichung.- 2.1.1. Beschreibung eines Feldes durch Quellen und Wirbel.- 2.1.2. Eindeutigkeit der Lösung. Randbedingungen.- 2.2. Die partielle Differentialgleichung von Schwingungsvorgängen.- 2.2.1. Die schwingende Saite.- 2.2.2. Die schwingende Membran und räumliche Schwingungen.- 2.3. Die Differentialgleichungen der Diffusion und Wärmeleitung.- 2.4. Einfachste Differentialgleichungen der Quantenmechanik.- 2.5. Übungsbeispiele zu Kap. 2.- 3. Lösungsansätze für partielle Differentialgleichungen.- 3.1. Trennung der Variablen.- 3.2. Die Laplacegleichung.- 3.2.1. Die Laplacegleichung für ein Rechteck.- 3.2.2. Die Laplacegleichung in Polarkoordinaten.- 3.3. Die schwingende Saite.- 3.3.1. Die beidseitig eingespannte schwingende Saite.- 3.3.2. Die d’Alembertsche Lösung der schwingenden Saite.- 3.4. Übungsbeispiele zu Kap. 3.- 4. Rand und Eigenwertaufgaben.- 4.1. Problemstellung.- 4.2. Sturm-Liouville-Differentialoperatoren.- 4.2.1. Selbstadjungierte Differentialoperatoren.- 4.2.2. Sturm-Liouville-Randwertaufgaben.- 4.2.3. Sturm-Liouville-Eigenwertaufgaben.- 4.2.4. Die Sturm-Liouville -Transformation.- 4.3. Der Entwicklungssatz.- 4.3.1. Eigenwerte und Eigenfunktionen.- 4.3.2. Der Entwicklungssatz für beschränkte Intervalle.- 4.4. Die Lösung der Anfangsrandwertaufgabe.- 4.5. Die inhomogene Randwertaufgabe.- 4.6. Nadelartige Funktionen.- 4.7. Ergänzungen und Bemerkungen.- 4.8. Übungsbeispiele zu Kap. 4.- 5. Singuläre Differentialgleichungen.- 5.1. Der Begriff der singulären Differentialgleichung. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 5.2. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.3. Die konfluente hypergeometrische Differentialgleichung.- 5.4. Übungsbeispiele zu Kap. 5.- 6. Spezielle Funktionen.- 6.1. Kugelfunktionen.- 6.1.1. Die Laplacegleichung in Kugelkoordinaten.- 6.1.2. Die Legendreschen Polynome und ihre erzeugende Funktion.- 6.1.3. Die Formel vom Rodrigues.- 6.1.4. Die Integraldarstellung von Laplace.- 6.1.5. Die zugeordneten Legendreschen Funktionen.- 6.1.6. Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.1.7. Das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen.- 6.1.8. Der Entwicklungssatz nach Kugelflächenfunktionen.- 6.1.9. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie.- 6.2. Zylinderfunktionen.- 6.2.1. Die Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten.- 6.2.2. Besselfunktionen.- 6.2.3. Besselfunktionen als Eigenfunktionen.- 6.2.4. Integraldarstellung und erzeugende Funktion der Besselfunktion Jn (?).- 6.2.5. Das Additionstheorem der Besselfunktionen mit ganzzahligem Zeiger.- 6.2.6. Die Wellengleichung. Sphärische Besselfunktionen.- 6.2.7. Entwicklung einer ebenen Welle nach Kugelwellen.- 6.2.8. Asymptotische Darstellungen für sphärische Besselfunktionen.- 6.3. Hermitesche und Laguerresche Polynome.- 6.3.1. Der harmonische Oszillator (Hermitesche Polynome).- 6.3.2. Die erzeugende Funktion der Hermiteschen Polynome.- 6.3.3. Die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom (Laguerresche Polynome).- 6.4. Übungsbeispiele zu Kap. 6.- 7. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.1. Problemstellung.- 7.2. Testfunktionen.- 7.3. Verallgemeinerte Funktionen.- 7.4. Die Diracsche Deltafunktion.- 7.5. Die Derivierte einer verallgemeinerten Funktion.- 7.6. Produkte von verallgemeinerten Funktionen. Das Funktional ?(g(x)).- 7.7. Die uneigentliche Funktion ?(1/r).- 7.8. Ergänzungen und Bemerkungen.- 7.9. Übungsbeispiele zu Kap. 7.- 8. Die Methode der Greenschen Funktionen für partielle Differentialgleichungen.- 8.1. Die klassische Lösung der Poissongleichung.- 8.2. Greensche Funktionen und die Deltafunktion.- 8.3. Die Greensche Funktion der Poissongleichung.- 8.3.1. Der eindimensionale Fall.- 8.3.2. Der dreidimensionale Fall mit natürlichen Randbedingungen.- 8.4. Die Greensche Funktion der Wärmeleitung (Diffusion).- 8.4.1. Die Wärmeleitung im unendlich langen Stab.- 8.4.2. Anfangs- und Randbedingungen der homogenen Wärmeleitungsgleichung.- 8.4.3. Die Wärmeleitung im Raum.- 8.5. Die Greenschen Funktionen der Wellengleichung und ihrer Verallgemeinerungen.- 8.5.1. Allgemeine Randbedingungen.- 8.5.2. Greensche Funktionen im unendlichen Raum.- 8.6. Übungsbeispiele zu Kap. 8.- A. Funktionentheorie.- B. Die Gammafunktion.- Literatur.- Sachwortverzeichnis.

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