Description
Book SynopsisThe Finite Element Method FEM is a standard method for structural analysis. For practitioners in construction engineering as well as for students, and introduction and all necessary calculations for the design of steel structures according to the Eurocodes (EC 3) are presented.
Table of ContentsVorwort v
Autoren vii
1 Einleitung und Übersicht 1
1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren 1
1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung 2
1.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche 4
1.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen 6
1.5 Bezeichnungen und Annahmen 9
1.6 Grundlegende Beziehungen 15
1.7 Linearisierung 18
1.8 Software/Downloads 21
2 Grundlagen der FEM 22
2.1 Allgemeines 22
2.2 Grundideen und Methodik 22
2.3 Ablauf der Berechnungen 28
2.4 Gleichgewicht 30
2.4.1 Vorbemerkungen 30
2.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit 31
2.4.3 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie 33
2.4.4 Differentialgleichungen 35
2.5 Ansatzfunktionen für die Verformungen 37
2.5.1 Grundsätzliches 37
2.5.2 Polynomfunktionen für Stabelemente 38
2.5.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen für Stabelemente 41
2.5.4 Ansatzfunktionen für das Plattenbeulen 46
2.5.5 Eindimensionale Funktionen für Querschnitte 50
2.5.6 Zweidimensionale Funktionen für Querschnitte 53
3 FEM für lineare Berechnungen von Stabtragwerken 58
3.1 Vorbemerkungen 58
3.2 Stabelemente für lineare Berechnungen 58
3.2.1 Verknüpfung der Verformungs- und Schnittgrößen 58
3.2.2 Normalkraftbeanspruchungen 60
3.2.3 Biegebeanspruchungen 63
3.2.4 Torsionsbeanspruchungen 66
3.2.5 Beliebige Beanspruchungen 70
3.3 Knotengleichgewicht im globalen Koordinatensystem 73
3.4 Bezugssysteme und Transformationen 76
3.4.1 Problemstellung 76
3.4.2 Stabelemente in der X-Z-Ebene 81
3.4.3 Stabelemente im räumlichen X-Y-Z-KOS 84
3.4.4 Lastgrößen 87
3.4.5 Verdrillung und Wölbbimoment 89
3.4.6 Finite Elemente für beliebige Bezugssysteme 95
3.5 Gleichungssystem 96
3.5.1 Ziel 96
3.5.2 Gesamtsteifigkeitsmatrix 96
3.5.3 Gesamtlastvektor 98
3.5.4 Geometrische Randbedingungen 100
3.6 Berechnung der Verformungsgrößen 102
3.7 Ermittlung der Schnittgrößen 103
3.8 Ermittlung der Auflagerreaktionen 105
3.9 Einwirkungen/Lastgrößen 106
3.9.1 Einzellasten 106
3.9.2 Streckenlasten 106
3.9.3 Stützensenkungen 107
3.9.4 Temperatureinwirkungen 108
3.10 Federn und Schubfelder 109
3.11 Gelenke und Gelenkfedern 113
3.12 Einflusslinien 117
3.13 Übertragungsmatrizenverfahren 121
3.14 Schubweiche Stabelemente 126
4 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stabtragwerken 133
4.1 Allgemeines 133
4.2 Gleichgewicht am verformten System 133
4.3 Ergänzung der virtuellen Arbeit 137
4.4 Knotengleichgewicht unter Berücksichtigung von Verformungen 143
4.5 Geometrische Steifigkeitsmatrix 145
4.6 Sonderfall: Biegung mit Druck- bzw. Zugnormalkraft 150
4.7 Vorverformungen und geometrische Ersatzimperfektionen 154
4.8 Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und Nachweisschnittgrößen 158
4.9 Stabilitätsuntersuchungen/Verzweigungslasten 165
4.10 Eigenformen/Knickbiegelinien 167
4.11 Fließgelenktheorie 171
5 Anwendungsbeispiele für Stabtragwerke 175
5.1 Übersicht 175
5.1.1 Allgemeines 175
5.1.2 Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit 176
5.1.3 Stabilitätsnachweise für Stäbe 183
5.1.4 Auswahl der Elementtypen und -matrizen 187
5.1.5 Tragfähigkeitsmindernde Einflüsse 189
5.2 Träger 190
5.2.1 Vorbemerkungen 190
5.2.2 Einfeldträger mit Kragarm 190
5.2.3 Traglast eines Zweifeldträgers 193
5.2.4 Zweifeldträger mit elastischem Mittelauflager 197
5.2.5 Träger mit planmäßiger Torsion 199
5.2.6 Kranbahnträger 201
5.3 Stützen und andere Druckstäbe 205
5.3.1 Vorbemerkungen 205
5.3.2 Elastisch eingespannte Rohrstütze 205
5.3.3 Stütze mit planmäßiger Biegung und drei Stabilitätsfällen 207
5.3.4 Giebelwandeckstütze 210
5.4 Fachwerke 214
5.4.1 Vorbemerkungen 214
5.4.2 Ebener Fachwerkbinder 214
5.4.3 Montagezustand des Torbinders einer Flugzeughalle 218
5.5 Rahmen und Stabwerke 220
5.5.1 Vorbemerkungen 220
5.5.2 Zweigelenkrahmen mit Zwischenbühne 221
5.5.3 Rahmen unter Berücksichtigung von Anschlusssteifigkeiten 225
5.5.4 Haupttragwerk einer Stabbogenbrücke 231
5.5.5 Silodachkonstruktion 235
5.6 Trägerroste 239
5.6.1 Vorbemerkungen 239
5.6.2 Fahrbahn einer Stabbogenbrücke 240
6 FEM für ebene Flächentragwerke – Plattenbeulen 242
6.1 Scheiben und Platten 242
6.2 Spannungen und Schnittgrößen 242
6.3 Verschiebungsgrößen 244
6.4 Grundlegende Beziehungen 245
6.5 Prinzip der virtuellen Arbeit 247
6.6 Scheiben und Platten im Stahlbau 249
6.7 Steifigkeitsmatrix für ein Plattenelement 251
6.8 Geometrische Steifigkeitsmatrix für das Plattenbeulen 255
6.9 Längs- und querausgesteifte Platten 256
6.10 Plattenbeulnachweise nach DIN EN 1993-1-5 258
6.11 Berechnung von Beulspannungen und Beulflächen 264
6.12 Anwendungsbeispiele zum Plattenbeulen 271
6.12.1 Vorbemerkungen 271
6.12.2 Einzelfeld mit konstantem σx 271
6.12.3 Ein- und zweiwellige Beulflächen, gleiche Beulspannungen 274
6.12.4 Stegblech einer Verbundbrücke mit Schubbeanspruchung 276
6.12.5 Stegblech mit Biegebeanspruchung 277
6.12.6 Bodenblech mit Längssteife 279
6.12.7 Vollwandträgersteg mit Längssteifen 283
6.12.8 Veränderte Anordnung der Längssteifen 292
7 FEM für Stabquerschnitte 294
7.1 Aufgabenstellungen 294
7.2 Normierte Bezugssysteme und Querschnittskennwerte 296
7.3 Prinzip der virtuellen Arbeit 299
7.4 Eindimensionale Elemente für dünnwandige Querschnitte 304
7.4.1 Virtuelle Arbeit 304
7.4.2 Elementsteifigkeitsbeziehungen 306
7.4.3 Gleichungssysteme 309
7.4.4 Berechnungen der Querschnittswerte und Spannungen 311
7.4.5 Zusammenstellung 314
7.5 Zweidimensionale Elemente für dickwandige Querschnitte 315
7.5.1 Vorbemerkungen 315
7.5.2 Virtuelle Arbeit für dickwandige Querschnittselemente 317
7.5.3 Elementgeometrie 318
7.5.4 Transformationsbeziehungen 321
7.5.5 Steifigkeitsbeziehungen 323
7.5.6 Numerische Integration 325
7.5.7 Querschnittswerte und Spannungen 328
7.5.8 Güte der Näherungslösungen 329
7.5.9 Sonderfall: Rechteckige Elemente 331
7.6 Berechnungsablauf 335
7.7 Anwendungsbeispiele 337
7.7.1 Vorbemerkungen 337
7.7.2 Einzelliger Hohlkastenquerschnitt 337
7.7.3 Brückenquerschnitt mit Trapezsteifen 342
7.7.4 Rechteckiger Vollquerschnitt 345
7.7.5 Doppeltsymmetrischer I-Querschnitt 351
7.7.6 Kranschiene 358
7.7.7 Numerische Erfassung des Schubverzerrungseinflusses auf die Normalspannungsverteilung 360
7.8 Schubkorrekturfaktoren 362
8 Gleichungssysteme 367
8.1 Problemstellung 367
8.2 Lösungsverfahren 368
8.3 Gaußscher Algorithmus 369
8.4 Cholesky-Verfahren 370
8.5 Gaucho-Verfahren 370
8.6 Berechnungsbeispiel 372
8.7 Ergänzende Hinweise 374
9 Lösung von Eigenwertproblemen 375
9.1 Problemstellung 375
9.2 Erläuterungen zum Verständnis 376
9.3 Matrizenzerlegungsverfahren 381
9.4 Inverse Vektoriteration 386
9.5 Kombination der Lösungsverfahren 392
10 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stäben nach der Fließzonentheorie 395
10.1 Einführung 395
10.1.1 Vorbemerkungen 395
10.1.2 Grundlegende Einführungsbeispiele 395
10.2 Hinweise zu geometrisch nichtlinearen Berechnungen 398
10.3 Berücksichtigung der physikalischen Nichtlinearität 402
10.3.1 Vorbemerkungen 402
10.3.2 Einführungsbeispiel 402
10.3.3 Dehnungsiteration für σx-Schnittgrößen 406
10.4 Grundlagen und Annahmen für Berechnungen nach der Fließzonentheorie 413
10.4.1 Vorbemerkungen 413
10.4.2 Werkstoffgesetz 413
10.4.3 Imperfektionen 416
10.4.4 Zum Einfluss der Imperfektionen 420
10.5 Gleichgewicht 422
10.5.1 Inkrementelles Gleichungssystem nach Theorie II. Ordnung 422
10.5.2 Verallgemeinertes inkrementell-iteratives Verfahren 428
10.5.3 Bogenlängenverfahren 432
10.6 Steifigkeitsmatrix für Bauteile mit Fließzonen 434
10.7 Berechnungsbeispiele 438
10.7.1 Fließzonenberechnungen auf Grundlage von DIN EN 1993 438
10.7.2 Berechnungen mit dem Programm FE-STAB-FZ 439
10.7.3 Bauteile mit doppeltsymmetrischen I-Querschnitten 440
10.7.4 Stütze HEA 140 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung 443
10.7.5 Einfeldträger IPE 300 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung 445
10.7.6 Stütze IPE 300 mit Einspannung am Stützenfuß 447
10.7.7 Einfeldträger IPE 450 mit Kragarm 449
10.7.8 Zweifeldriger Kranbahnträger HEB 300 451
10.7.9 Biegung und Torsion eines Versuchsträgers IPE 200 454
10.7.10 Zweiachsig außermittig belastete Versuchsstütze HEB 200 457
10.7.11 Auswirkungen von Fließzonen auf die Tragfähigkeit 461
11 Grundlagen zur Beschreibung des plastischen Materialverhaltens 465
11.1 Einleitung 465
11.2 Grundlegende mechanische Beziehungen 466
11.2.1 Spannungs- und Verzerrungstensor 466
11.2.2 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen 469
11.3 Beschreibung der Plastizität 472
11.3.1 Fließkriterium 472
11.3.2 Verfestigungsregel 476
11.3.3 Fließregel 480
11.4 Hinweise zur Berücksichtigung der Plastizität in numerischen Berechnungen 486
Literaturverzeichnis 489
Stichwortverzeichnis 495
