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Book SynopsisDies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Grundlagen und danach den Stoff der linearen Algebra und eindimensionalen Analysis. Damit deckt es den Stoff ab, der an Universitäten wesentlich im ersten Semester behandelt wird. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure.Hiermit liegt der erste Band einer dreiteiligen Reihe vor, welche die Themen beinhaltet, die gewöhnlich Inhalt der Basisvorlesungen sind; darüber hinaus werden im letzten Band Grundlagen für das Beherrschen von weiteren Themen in Spezialvorlesungen geboten. Es liegt also eine konsistente Reihe für wichtige Teile der mathematischen Ausbildung vor.Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen.Die Autoren bringen ihre Erfahrungen aus zahlreichen erfolgreichen Vorlesungen und Übungen zum Nutzen der Studierenden ein.Auf einen Blick: Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur. Zahlreiche Erläuterungen. Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert. Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen. Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen. Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art. Das Buch ist für die zweite Auflage komplett durchgesehen und um zahlreiche Aufgaben mit Lösungen ergänzt. Table of ContentsEinleitung I Grundlagen 1 Elementare Logik und Mengenlehre 1.1 Einblick 1.2 Aussagen, Junktoren und Wahrheitstafeln 1.3 Sätze der Aussagenlogik 1.4 Prädikate und Quantoren 1.5 Mengen 1.6 Zahlen und Intervalle 1.7 Eigenschaften und Verknüpfungen von Mengen 1.8 Ausblick 1.9 Selbsttest 2 Definition, Satz, Beweis und mehr 2.1 Einblick 2.2 Grundlegendste Elemente bei der Formulierung von Mathematik 2.3 Formen des Beweisens 2.3.1 Direkte und indirekte Beweise 2.3.2 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise 2.3.3 Der Ringschluss 2.3.4 Das Gegenbeispiel 2.3.5 Vollständige Induktion 2.4 Ausblick 2.5 Selbsttest 3 Abbildungen 3.1 Einblick 3.2 Grundlegendes zu Abbildungen 3.3 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität 3.4 Die Komposition von Abbildungen 3.5 Ausblick 3.6 Selbsttest 4 Körper und komplexe Zahlen 4.1 Einblick 4.2 Körper 4.3 Die komplexen Zahlen 4.4 Ausblick 4.5 Selbsttest Aufgaben zu den mathematischen Grundlagen II Lineare Algebra 5 Vektorräume 5.1 Einblick 5.2 Grundlegendes zu Vektorräumen 5.3 Ausblick 5.4 Selbsttest 6 Basen und Untervektorräume 6.1 Einblick 6.2 Spann und Erzeugendensystem 6.3 Lineare Unabhängigkeit, Basis 6.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung, Untervektorräume 6.5 Ausblick 6.6 Selbsttest 7 Lineare Abbildungen und Dimensionssätze 7.1 Einblick 7.2 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 7.3 Kern und Bild linearer Abbildungen 7.4 Dimensionssätze 7.5 Ausblick 7.6 Selbsttest 8Matrizen 8.1 Einblick 8.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung 8.3 Der Rang einer Matrix 8.4 Das Matrizenprodukt 8.5 Besondere Matrizen 8.6 Ausblick 8.7 Selbsttest 9 Lineare Gleichungssysteme 9.1 Einblick 9.2 Grundlegendes zu linearen Gleichungssystemen und Gauß-Algorithmus 9.3 Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems 9.4 Ausblick 9.5 Selbsttest 10 Die Determinante 10.1 Einblick 10.2 Der Laplace’sche Entwicklungssatz 10.3 Berechnung von Determinanten in einfachen Fällen 10.4 Eigenschaften der Determinanten 10.5 Ausblick 10.6 Selbsttest 11 Eigenwerte und Eigenvektoren 11.1 Einblick 11.2 Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum 11.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren 11.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten 11.5 Ausblick 11.6 Selbsttest 12 Koordinatenabbildung und Basiswechsel 12.1 Einblick 12.2 Die Koordinatenabbildung 12.3 Darstellende Matrizen und Basiswechsel 12.4 Ausblick 12.5 Selbsttest 13 Diagonalisierung 13.1 Einblick 13.2 Diagonalisierbare Matrizen 13.3 Weitere Kriterien für Diagonalisierbarkeit 13.4 Ausblick 13.5 Selbsttest 14 Normierte, euklidische und unitäre Vektorräume 14.1 Einblick 14.2 Normierte Vektorräume 14.3 Skalarprodukte 14.4 Das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren 14.5 Orthogonale Abbildungen 14.6 Ausblick 14.7 Selbsttest Aufgaben zur linearen Algebra III Analysis 15 Grundzüge der Analysis 15.1 Einblick 15.2 Folgen und Konvergenz 15.2.1 Rechenregeln für

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Book SynopsisDies ist ein Buch über die Mathematik, welches insbesondere die Anforderungen des Bachelorstudiums sinnvoll bedient. Es behandelt die Analysis in mehreren Variablen sowie gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen. Dabei wenden wir uns an Physiker, Mathematiker sowie ambitionierte Lehramtskandidaten und Ingenieure. Das Buch fördert sowohl das Verständnis als auch das konzentrierte Lernen für Klausuren und mündliche Prüfungen. Die Autoren bringen ihre Erfahrungen aus zahlreichen erfolgreichen Vorlesungen und Übungen zum Nutzen der Studierenden ein. Auf einen Blick: Klarer Stil, klare Sprache, klare Struktur. Zahlreiche Erläuterungen. Zu jedem Thema wird gesondert ein informativer Ein- und Ausblick geliefert. Grafiken und viele Beispiele helfen beim Verstehen. Fragen zum Selbsttest unterstützen zusätzlich beim Lernen. Aufgaben mit vollständigen Lösungen dienen der Vertiefung und Vorbereitung auf Prüfungen jeglicher Art. Table of ContentsI Mehrdimensionale Analysis 1 Metrische Räume 2 Kompakte Mengen in Rn, Abbildungen und Funktionen in Rn 3 Stetige Abbildungen von Rn nach Rm 4 Differenzierbare Abbildungen von Rn nach Rm 5 Gradient, Divergenz und Rotation 6 Höhere partielle Ableitungen und der Laplace-Operator 7 Potenziale 8 Lokale Extrema und Taylor-Polynom 9 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen 10 Kurven in Rn 11 Kurvenintegrale 12 Mehrfachintegration in R2 und R3 13 Koordinatentransformation von Integralen in R2 14 Flächen in R3, Oberächen- und Flussintegral 15 Der Satz von Gauß 16 Der Satz von Stokes Aufgaben zur mehrdimensionalen Analysis II Differenzialgleichungen 17 Grundlegendes zu Differenzialgleichungen 18 Lösungsansatz für homogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffzienten 19 Anfangswertprobleme I 20 Anfangswertprobleme II, inhomogene lineare Differenzialgleichungssysteme und Variation der Konstanten 21 Inhomogene lineare Differenzialgleichungssysteme und Ansatz vom Typ der rechten Seite, Wronski-Test 22 Lösungsansätze für nicht lineare Differenzialgleichungen 23 Nicht lineare Differenzialgleichungssysteme und Stabilität 24 Partielle Differenzialgleichungen: Separationsansatz 25 Wellengleichung, holomorphe und harmonische Funktionen 26 Weiteres zur Wellengleichung, Überblick 27 Fourier-Reihen 28 Variationsrechnung Aufgaben zu Differenzialgleichungen Lösungen der Selbsttests Lösungen der Aufgaben Literatur und Ausklang Index

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Book SynopsisThis textbook provides an easy-to-understand introduction to the mathematical concepts and algorithms at the foundation of data science. It covers essential parts of data organization, descriptive and inferential statistics, probability theory, and machine learning. These topics are presented in a clear and mathematical sound way to help readers gain a deep and fundamental understanding. Numerous application examples based on real data are included. The book is well-suited for lecturers and students at technical universities, and offers a good introduction and overview for people who are new to the subject. Basic mathematical knowledge of calculus and linear algebra is required.Table of Contents

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