Description
Book SynopsisWas Sie wissen müssen – von Abbildungsmatrix bis Zylinderkoordinaten Ganz egal, was Sie machen wollen, in der Mathematik führt ab einem gewissen Niveau kein Weg an der Vektorund Matrizenrechnung vorbei. Karsten Kirchgessner und Marco Schreck führen Sie in dieses Thema ein. Sie erklären Ihnen, was Vektoren und Matrizen überhaupt sind und wie Sie möglichst unkompliziert mit ihnen rechnen. Außerdem erfahren Sie, was Sie über Eigenwerte und Eigenvektoren wissen sollten, wie Sie lineare Gleichungssysteme lösen und vieles mehr. So lernen Sie pfeilschnell, in diese Tiefen der Mathematik einzudringen. Besonderer Wert wird hierbei auf geschickte Ansätze und Tricks gelegt, die den Rechenaufwand und Komplexitätsgrad einer Aufgabenstellung reduzieren, sodass Sie insbesondere in Prüfungen so schnell wie möglich zur korrekten Lösung gelangen.
Table of ContentsEinleitung 19
Konventionen in diesem Buch 19
Törichte Annahmen über den Leser 20
Was Sie in diesem Buch finden 20
Was Sie in diesem Buch nicht finden 20
Wie dieses Buch aufgebaut ist 20
Teil I: Einführung 21
Teil II: Vektorrechnung 21
Teil III: Matrizen 21
Teil IV: Lineare Gleichungssysteme 21
Teil V: Der Top-Ten-Teil 22
Spickzettel 22
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22
Wie es weitergeht 22
Teil I
Einführung 23
Kapitel 1
Motivation 25
Gestatten: Die Familie der Vektoren, Matrizen und linearen
Gleichungssysteme 25
Vektoren in Theorie und Praxis 26
Matrizen in Schule, Studium und Beruf 27
Wie Matrizen behandelt werden wollen und wie sie einem behilflich sind 28
Kapitel 2
Vektorrechnung 31
Was war zuerst da: der Vektor oder der Pfeil? 31
Voll konkret: explizite Schreibweise und Komponenten eines Vektors 33
Der Betrag eines Vektors 36
Beispiele 37
Einheitsvektoren – Voll normal! 38
Rechnen mit Vektoren 40
Addition und Subtraktion von Vektoren 40
Multiplikation von Vektoren mit Zahlen 45
Linearkombination von Vektoren als »Pfeile« 47
Differenzvektoren 48
Vektoren in der analytischen Geometrie 49
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks 49
Zum Halten von Lasten 51
Kapitel 3
Matrizen 55
Definition und Form von Matrizen 55
Rechnen mit Matrizen – mehr als nur ein Haufen Zahlen! 57
Addition und Subtraktion von Matrizen 57
Multiplikation von Matrizen 58
Invertieren von Matrizen 60
So sieht sich eine Matrix im Spiegel 60
Der Stammbaum der Matrizen 63
Reelle und komplexe Matrizen 63
Quadratische und nicht-quadratische Matrizen 64
Reguläre und singuläre Matrizen 64
Symmetrische und hermitesche Matrizen 64
Orthogonale und unitäre Matrizen 66
Dreiecksmatrizen 67
Noch speziellere Matrizen… 68
Matrizen bei der Arbeit 68
Determinante und Umkehrbarkeit von Transformationen 71
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Diagonalisieren von Matrizen 71
Kapitel 4
Lösen von linearen Gleichungssystemen 73
Matrixschreibweise für lineare Gleichungssysteme 73
Links- und Rechtsmultiplikation sind zweierlei! 77
Umformen der Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems 81
Teil II
Vektorrechnung 83
Kapitel 5
Vektor mal Vektor = ??? 85
Skalarprodukt: Vektor mal Vektor gleich Zahl 85
Definition und Schreibweisen 85
Wissenswertes zum Skalarprodukt: kurz und knapp 86
Geometrische Bedeutung – endlich wird es anschaulich! 88
Wie berechnet man das Skalarprodukt konkret? 91
Kreuzprodukt: Vektor mal Vektor gleich Vektor 94
Definition und Schreibweise 94
Nützliches zum Vektorprodukt: wieder kurz und knapp 94
Geometrische Bedeutung – endlich wird’s wieder anschaulich! 95
Wie rechnet man das Kreuzprodukt konkret aus? 96
Das Spatprodukt – und was ist bitte ein Parallelepiped? 100
Dyadisches Produkt: Vektor mal Vektor gleich Matrix 102
Definition und Schreibweise 102
Dyadisches Produkt zweidimensionaler orthogonaler Einheitsvektoren 102
Dyadisches Produkt von orthogonalen Einheitsvektoren
in drei Dimensionen 103
Kapitel 6
Die Welt der Mathematik besteht aus Vektoren … 105
Unser Koordinatensystem ist das Gerüst der Vektor-Welt 105
Kartesische Koordinatensysteme – hier steht alles senkrecht! 105
Beispiele für kartesische Koordinatensysteme 106
Polarkoordinaten – krumme Linien in der Ebene?! 109
Zylinderkoordinaten – Hut ab für die dritte Dimension! 115
Kugelkoordinaten – eine runde Sache 118
Basis und Basistransformationen: Wir wechseln den Blickwinkel! 122
Unter der Lupe: Was versteht man unter einer Basis? 122
Beispiele für Basen 124
Basistransformationen – aus Alt mach Neu 125
Jetzt geht’s rund – wir drehen die Basis! 127
Kapitel 7
Analytische Geometrie – mehr als nur ein paar Bauklötze! 135
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren 135
Der Vektorzug fährt ein… 135
Parallele und antiparallele Vektoren 136
Anwendungsaufgabe zur linearen Abhängigkeit von Vektoren 137
Darstellung von Geraden und Ebenen 139
Parameterdarstellung: Jetzt kommen die Vektoren zum Zug! 139
Normalenform: Der senkrechte Vektor zeigt, wo es lang geht! 142
Zusammenfassung 144
Der Klassiker: Schnitte und Abstände von Geraden und Ebenen 144
Schnitte von Geraden mit Ebenen 144
Abstand zwischen Ebene und einer parallelen Gerade 146
Schnitt zweier Ebenen in Parameterdarstellung 147
Schnitt einer Ebene in Parameterdarstellung und einer Ebene in Normalenform 148
Bestimmung des Abstands zweier paralleler Ebenen 149
Parallele und windschiefe Geraden 151
Wir verlassen das Flachland und bauen Körper aus Ebenen 155
Eine Pralinenschachtel in der Vektorrechnung 155
Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 1:
Wir bauen uns einen Tetraeder 157
Analytische Geometrie für Fortgeschrittene Teil 2:
Wie viel Farbe benötigt man, um einen Dodekaeder anzumalen? 160
Die Sache kommt ins Rollen: Kugeln in der Vektorrechnung 166
Die Kugelgleichung 166
Tangentialebenen 167
Schnitt von Kugeln mit Ebenen 168
Kapitel 8
Funktionenräume 171
Können Funktionen Vektoren sein? 171
Ein Skalarprodukt für Funktionen 173
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Funktionen 174
Funktionen machen es den Vektoren im Anschauungsraum nach 174
Der Funktionenraum der Polynome 175
Monome als Bausteine von Polynomen 175
Orthogonale Funktionen – was bedeutet das? 175
Trigonometrische Funktionen 177
Auf der Suche nach einer Basis 177
Ran ans Werk: Das Skalarprodukt trigonometrischer Funktionen 178
Die Fourierreihe – wir bringen Funktionen zum Schwingen 179
So macht man aus unstetigen Funktionen stetige 180
Teil III
Matrizen 183
Kapitel 9
Rechenregeln 185
Assoziativgesetz, Distributivgesetz und Kommutativgesetz für die Addition 185
Addition, Subtraktion und Multiplikation in Aktion 187
Division durch Bildung der Inversen 189
Lineare Abbildungen, Kern und Bild 190
Basistransformationen von Vektoren mittels Matrizen 190
Einführung in lineare Abbildungen und deren Basiswechsel 191
Kapitel 10
Determinanten 199
Verfahren nach Leibniz 199
Permutationen – da haben wir den (Zahlen)salat! 199
Die Determinantenformel 202
Schachbrettregel und Unterdeterminanten 205
Entwicklung nach Zeilen oder Spalten 207
Spezialfall: (2 x 2)-Matrizen 211
Spezialfall: (3 x 3)-Matrizen und Sarrussche Regel 211
Rechenregeln für Determinanten 213
Anwendung: Berechnung des Kreuzprodukts mit der Determinante 214
Kapitel 11
Invertieren von Matrizen 217
Regularität und Singularität als Indiz für Invertierbarkeit 217
Berechnung der Inversen mittels des Gauß-Algorithmus 219
Bildung der Inversen mittels der Adjunkten 222
Spezialfall: (2 x 2)- und (3 x 3)-Matrizen 226
Kapitel 12
Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisieren von Matrizen 229
Berechnung von Eigenwerten, algebraische Vielfachheit 229
Berechnung der Eigenvektoren, geometrische Vielfachheit 235
Diagonalisieren von Matrizen 241
Algebraische Vielfachheit = Geometrische Vielfachheit 241
Mehrfaches Auftreten von Eigenwerten 243
Algebraische Vielfachheit ≠?nGeometrische Vielfachheit 244
Besonderheiten von symmetrischen und hermiteschen Matrizen 245
Was sich nicht ändert beim Diagonalisieren 248
Anwendung: Noch einmal Drehungen 250
Anwendung: Quadriken 252
Die Hauptachsen einer Quadrik 255
Anwendung des Verfahrens nach Gram und Schmidt 257
Ein paar Tipps zum Abschluss des Kapitels! 257
Für Fortgeschrittene: Jordansche Normalform 258
Bestimmung der Jordan-Normalform und der Transformationsmatrix 259
Kapitel 13
Besonders einfache Matrizen 263
Dreiecksmatrizen 263
Diagonalmatrizen 263
Blockdiagonale Matrizen 264
Teil IV
Lösen von linearen Gleichungssystemen 271
Kapitel 14
Gauß-Algorithmus in Matrixschreibweise: Vertiefung 273
Erweiterte Koeffizientenmatrix und Zeilenstufenform 273
Rang von Matrizen 274
Systeme mit einer eindeutigen Lösung 276
Systeme ohne Lösung 278
Systeme mit unendlich vielen Lösungen 279
Kapitel 15
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe von Parametern 283
Einführung von Parametern und Bilden der Lösung 283
Minus-Eins-Ergänzungstrick: Erzeugung der Zeilennormalform und Ablesen der Lösung 284
Kapitel 16
Homogene und partikuläre Lösung 287
Bildung der homogenen Lösung 287
Bildung der partikulären Lösung 289
Zusammensetzen beider Lösungen 289
Kapitel 17
Lösungsweg unter Verwendung der Determinante 291
Aufstellen der zu berechnenden Determinanten und Cramersche Regel 291
Resultate aus der Cramerschen Regel 293
Anwendung: Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit zweier Parameter 293
Anwendung: Die Wronski-Determinante 295
Die Wronski-Determinante in Aktion 296
Lineare Unabhängigkeit im Fall der Monome 297
Lineare Unabhängigkeit im Fall der Sinus- und Kosinusfunktionen 298
Teil V
Der Top-Ten-Teil 299
Kapitel 18
Zehn häufige Anfängerfehler 301
Dividieren durch Vektoren – Nein! 301
Matrizen vertauschen nicht! 301
Ein Vektor hängt von den Komponenten und der Basis ab! 301
Verwirrung beim komplexen Skalarprodukt 301
Leichtsinnsfehler 302
Vektoren in anderen Koordinatensystemen 302
Einheitskreis – wie bitte? 302
Wurzelziehen aus Quadraten 302
Vorsicht mit der imaginären Einheit 302
Falsche Regeln bei der Berechnung von Determinanten 303
Kapitel 19
Zehn Tipps für erfolgreiche Prüfungen 305
Üben, üben, üben! 305
Nachdenken ist die halbe Miete! 305
Ergebnisse kritisch begutachten 305
Üben Sie auch möglichst an verschiedenen Aufgabentypen! 306
Gleichungen müssen stimmig sein! 306
Effizienz von Algorithmen 306
Aussehen von Geraden und Ebenen 306
Denken Sie sich selber Aufgaben aus! 306
Nehmen Sie nicht alles bierernst! 306
Denken Sie an die am häufigsten vorkommenden Fragen! 307
Stichwortverzeichnis 309
