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Book SynopsisDie Simulation technischer Prozesse erfordert in der Regel die Lösung von linearen Gleichungssystemen großer Dimension. Hierfür werden moderne vorkonditionierte Iterationsverfahren (z.B. CG, GMRES, BiCGStab) hergeleitet und die zur Realisierung notwendigen Algorithmen beschrieben. Für Systeme mit strukturierten Matrizen werden effiziente direkte Lösungsverfahren angegeben. Numerische Beispiele für praktische Problemstellungen illustrieren die Effizienz der vorgestellten Verfahren.
Table of Contents1 Grundlagen.- 1.1 Normen von Vektoren und Matrizen.- 1.2 Eigenwerte und Singulärwerte.- 1.3 Orthogonalisierung von Vektorsystemen.- 1.4 Tschebyscheff-Polynome.- 2 Lineare Gleichungssysteme.- 2.1 Interpolation.- 2.2 Projektionsmethoden.- 2.3 Finite Element Methoden.- 2.4 Randelementmethoden.- 3 Strukturierte Matrizen.- 3.1 Schnelle Fouriertransformation.- 3.2 Zirkulante Matrizen.- 3.3 Toeplitz Matrizen.- 3.4 Niedrig-Rang-Störung regulärer Matrizen.- 4 Klassische Iterationsverfahren.- 4.1 Stationäre Iterationsverfahren.- 4.2 Gradientenverfahren.- 5 Verfahren orthogonaler Richtungen.- 5.1 Verfahren konjugierter Gradienten.- 5.2 Verfahren des minimalen Residuums.- 5.3 Verfahren biorthogonaler Richtungen.- 6 Gleichungssysteme mit Blockstruktur.- 6.1 Symmetrische Gleichungssysteme.- 6.2 Blockschiefsymmetrische Systeme.- 6.3 Zweifache Sattelpunktprobleme.- 7 Hierarchische Matrizen.- 7.1 Partitionierte Matrizen.- 7.2 Approximation mit Niedrigrang-Matrizen.- 7.2.1 Approximation symmetrischer Matrizen.- 7.2.2 Approximation allgemeiner Matrizen.- 7.3 Arithmetik von Hierarchischen Matrizen.- 7.3.1 Matrix-Vektor-Multiplikation.- 7.3.2 Addition.- 7.3.3 Matrix-Matrix-Multiplikation.- 7.3.4 Invertierung.- 7.4 Geometrische Partitionierungen.- 7.4.1 Box-Clustering.- 7.4.2 Bisektionsverfahren.- 7.5 Niedrigrang-Approximation von Funktionen.- 7.5.1 Darstellung mit Taylor-Reihen.- 7.5.2 Explizite Reihendarstellung.- 7.5.3 Adaptive Cross-Approximation.- 7.6 Anwendungen in der FEM.- 7.6.1 L2-Projektion.- 7.6.2 Randwertprobleme zweiter Ordnung.- Literatur.
