Description

Book Synopsis


Table of Contents
Einführung.- I: Darstellungen und Charaktere.- § 1. Allgemeines über lineare Darstellungen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Erste Beispiele.- 1.3. Teildarstellungen.- 1.4. Irreduzible Darstellungen.- 1.5. Tensorprodukt zweier Darstellungen.- § 2. Theorie der Charaktere.- 2.1. Der Charakter einer Darstellung.- 2.2. Das Schursche Lemma — erste Anwendungen.- 2.3. Die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere.- 2.4. Zerlegung der regulären Darstellung.- 2.5. Anzahl der irreduziblen Darstellungen.- 2.6. Die kanonische Zerlegung einer Darstellung.- § 3. Ergänzungen.- 3.1. Kommutative Gruppen.- 3.2. Produkt zweier Gruppen.- § 4. Erweiterung auf kompakte Gruppen.- 4.1. Kompakte Gruppen.- 4.2. Invariantes Maß auf einer kompakten Gruppe.- 4.3. Lineare Darstellungen kompakter Gruppen.- § 5. Beispiele.- 5.1. Die zyklische Gruppe Cn.- 5.2. Die Gruppe C?.- 5.3. Die Diedergruppe Dn.- 5.4. Die Gruppe Dnh.- 6.5. Die Gruppe D?.- 5.6. Die Gruppe D? h.- § 6. Grade der irreduziblen Darstellungen.- 6.1. Gruppenring.- 6.2. Ganze Elemente.- 6.3. Ganzheitseigenschaften der Charaktere.- 6.4. Grade der irreduziblen Darstellungen.- § 7. Induzierte Darstellungen.- 7.1. Definition.- 7.2. Charakter einer induzierten Darstellung.- 7.3. Frobeniussches Reziprozitätsgesetz.- 7.4. Einschränkung auf Untergruppen.- 7.5. Irreduzibilitätskriterium von Mackey.- § 8. Satz von Artin.- 8.1. Erster Beweis.- 8.2. Zweiter Beweis von (1) ? (2).- § 9. Anwendungen der induzierten Darstellungen.- 9.1. Invariante Untergruppen und Anwendungen auf die Grade der irreduziblen Darstellungen.- 9.2. Semidirekte Produkte.- 9.3. Hinweis auf gewisse Klassen von Untergruppen.- 9.4. Satz von Sylow.- 9.5. Darstellungen der überauflösbaren Gruppen.- § 10. Satz von Brauer.- 10.1. p-elementare Gruppen.- 10.2. p-reguläre Elemente.- 10.3. Konstruktion spezieller Charaktere.- 10.4. Beweis von Satz 21.- 10.5. Satz von Brauer.- § 11. Anwendungen des Satzes von Brauer.- 11.1. Charakterisierung der Charaktere.- 11.2. Umkehrung des Satzes von Brauer.- 11.3. Spektrum von R(G) ? A.- § 12. Rationalität der Darstellungen.- 12.1. Die Ringe RK(O) und R?K(G).- 12.2. Ein Satz von Brauer.- 12.3. Der Rang der Gruppe RK(G).- 12.4. Ein Analogom des Satzes von Brauer.- 12.5. Der Fall des Körpers der rationalen Zahlen.- 12.6. Der Fall des Körpers der reellen Zahlen.- II: Einführung in die Brauersche Theorie.- § 1. Die Gruppen RK(G), Rk(G) und Pk(G).- 1.1. Bezeichnungen und Vereinbarungen.- 1.2. Die Ringe RK(G) und Rk(G).- 1.3. Die Gruppen Pk(G) und PA(G).- 1.4. Struktur von Pk(G).- 1.5. Struktur von PA(G).- 1.6. Dualität.- 1.7. Erweiterung des Skalarenbereichs.- § 2. Das Dreieck cde.- 2.1. Definition von c: Pk(G) ? Rk(G).- 2.2. Definition von d: Rk(G) ? Rk(G).- 2.3. Definition von s: Pk(G) ? Rk(G).- 2.4. Erste Eigenschaften des Dreiecks cde.- 2.5. Ein trivialer Fall.- 2.6. Der Fall der p-Gruppen.- § 3. Sätze.- 3.1. Eigenschaften des Dreiecks cde.- 3.2. Charakterisierung des Bildes von e.- 3.3. Charakterisierung der projektiven A[G]-Moduln durch ihren Charakter.- 3.4. Anwendung auf die Artinschen Darstellungen.- § 4. Beweise.- 4.1. Relationen für die Untergruppen.- 4.2. Der Satz von Brauer.- 4.3. Beweis von Satz 1.- 4.4. Beweis der Sätze 2 und 2?.- 4.5. Beweis des Satzes von Fong-Swan.- 4.6. Surjektivität des Zerlegungshomomorphismus (allgemeiner Fall).- Anhang — Modulare Charaktere.- Nachtrag — Einige Definitionen.

Lineare Darstellungen endlicher Gruppen

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      Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
      Publication Date: 01/01/1972
      ISBN13: 9783528035563, 978-3528035563
      ISBN10: 3528035560

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      Table of Contents
      Einführung.- I: Darstellungen und Charaktere.- § 1. Allgemeines über lineare Darstellungen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Erste Beispiele.- 1.3. Teildarstellungen.- 1.4. Irreduzible Darstellungen.- 1.5. Tensorprodukt zweier Darstellungen.- § 2. Theorie der Charaktere.- 2.1. Der Charakter einer Darstellung.- 2.2. Das Schursche Lemma — erste Anwendungen.- 2.3. Die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere.- 2.4. Zerlegung der regulären Darstellung.- 2.5. Anzahl der irreduziblen Darstellungen.- 2.6. Die kanonische Zerlegung einer Darstellung.- § 3. Ergänzungen.- 3.1. Kommutative Gruppen.- 3.2. Produkt zweier Gruppen.- § 4. Erweiterung auf kompakte Gruppen.- 4.1. Kompakte Gruppen.- 4.2. Invariantes Maß auf einer kompakten Gruppe.- 4.3. Lineare Darstellungen kompakter Gruppen.- § 5. Beispiele.- 5.1. Die zyklische Gruppe Cn.- 5.2. Die Gruppe C?.- 5.3. Die Diedergruppe Dn.- 5.4. Die Gruppe Dnh.- 6.5. Die Gruppe D?.- 5.6. Die Gruppe D? h.- § 6. Grade der irreduziblen Darstellungen.- 6.1. Gruppenring.- 6.2. Ganze Elemente.- 6.3. Ganzheitseigenschaften der Charaktere.- 6.4. Grade der irreduziblen Darstellungen.- § 7. Induzierte Darstellungen.- 7.1. Definition.- 7.2. Charakter einer induzierten Darstellung.- 7.3. Frobeniussches Reziprozitätsgesetz.- 7.4. Einschränkung auf Untergruppen.- 7.5. Irreduzibilitätskriterium von Mackey.- § 8. Satz von Artin.- 8.1. Erster Beweis.- 8.2. Zweiter Beweis von (1) ? (2).- § 9. Anwendungen der induzierten Darstellungen.- 9.1. Invariante Untergruppen und Anwendungen auf die Grade der irreduziblen Darstellungen.- 9.2. Semidirekte Produkte.- 9.3. Hinweis auf gewisse Klassen von Untergruppen.- 9.4. Satz von Sylow.- 9.5. Darstellungen der überauflösbaren Gruppen.- § 10. Satz von Brauer.- 10.1. p-elementare Gruppen.- 10.2. p-reguläre Elemente.- 10.3. Konstruktion spezieller Charaktere.- 10.4. Beweis von Satz 21.- 10.5. Satz von Brauer.- § 11. Anwendungen des Satzes von Brauer.- 11.1. Charakterisierung der Charaktere.- 11.2. Umkehrung des Satzes von Brauer.- 11.3. Spektrum von R(G) ? A.- § 12. Rationalität der Darstellungen.- 12.1. Die Ringe RK(O) und R?K(G).- 12.2. Ein Satz von Brauer.- 12.3. Der Rang der Gruppe RK(G).- 12.4. Ein Analogom des Satzes von Brauer.- 12.5. Der Fall des Körpers der rationalen Zahlen.- 12.6. Der Fall des Körpers der reellen Zahlen.- II: Einführung in die Brauersche Theorie.- § 1. Die Gruppen RK(G), Rk(G) und Pk(G).- 1.1. Bezeichnungen und Vereinbarungen.- 1.2. Die Ringe RK(G) und Rk(G).- 1.3. Die Gruppen Pk(G) und PA(G).- 1.4. Struktur von Pk(G).- 1.5. Struktur von PA(G).- 1.6. Dualität.- 1.7. Erweiterung des Skalarenbereichs.- § 2. Das Dreieck cde.- 2.1. Definition von c: Pk(G) ? Rk(G).- 2.2. Definition von d: Rk(G) ? Rk(G).- 2.3. Definition von s: Pk(G) ? Rk(G).- 2.4. Erste Eigenschaften des Dreiecks cde.- 2.5. Ein trivialer Fall.- 2.6. Der Fall der p-Gruppen.- § 3. Sätze.- 3.1. Eigenschaften des Dreiecks cde.- 3.2. Charakterisierung des Bildes von e.- 3.3. Charakterisierung der projektiven A[G]-Moduln durch ihren Charakter.- 3.4. Anwendung auf die Artinschen Darstellungen.- § 4. Beweise.- 4.1. Relationen für die Untergruppen.- 4.2. Der Satz von Brauer.- 4.3. Beweis von Satz 1.- 4.4. Beweis der Sätze 2 und 2?.- 4.5. Beweis des Satzes von Fong-Swan.- 4.6. Surjektivität des Zerlegungshomomorphismus (allgemeiner Fall).- Anhang — Modulare Charaktere.- Nachtrag — Einige Definitionen.

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