Description
Book SynopsisThis book explores light and other types of waves, using this as a window into other aspects of physics. It emphasizes a conceptual understanding, using examples chosen from everyday life and the natural environment. For example, it explains how hummingbird feathers create shimmering colors, how musical instruments produce sound, and how atoms stick together to form molecules. It provides a unique perspective on physics by emphasizing commonalities among different types of waves, including string waves, water waves, sound waves, light waves, the matter waves of quantum mechanics, and the gravitational waves of general relativity. This book is targeted toward college non-science majors, advanced high school students, and adults who are curious about our physical world. It assumes familiarity with algebra but no further mathematics and is classroom-ready with many worked examples, exercises, exploratory puzzles, and appendices to support students from a variety of backgrounds.
Trade Review“‘Light and Waves’ fills a need to educate non-science majors and laypeople on the joy of optics. This highly recommended book inspires questions, curiosity, excitement and interest in the natural universe. … this book special is the quality of the questions, the variety of worked problems with answers, the numerous exercises and crucial additional resources.” (Barry R. Masters, optica-opn.org, October 26, 2023)
Table of ContentsContentsPreface1 Introduction1.1 Theories of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Extramission theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Particle theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3 Wave theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4 Particle-wave duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5 Today . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Part I: Waves2 Properties of Waves 2.1 Introduction to waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 Examples of waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Transverse, longitudinal, and surface waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Amplitude and wavelength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Speed and velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 Speed and velocity of waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Speed of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Measuring the speed of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Speed of light in a medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.5 Aside: High frequency stock market trading and the speed of light . . . . . . 232.3 Frequency and period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Frequency and period of waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Cars on a road analogy for waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Superposition3.1 Superposition of waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1 The superposition principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.2 Rogue waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.3 Constructive and destructive interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Beating patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Standing waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1 Reflection at boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2 Standing waves from reflected waves and superposition . . . . . . . . . . . . . 333.2.3 Standing waves between two boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Thin film interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Structural coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1 Diffraction through holes and around obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.2 Huygen’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Diffraction and interference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.1 Double-slit experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 Double-slit experiment analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.3 Diffraction gratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.4 Single-slit experiment and analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.5 The Arago-Poisson spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.6 Babinet’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.7 Atmospheric diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Wave Interactions 4.1 Resonance, coupling, and damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.1 Resonance and coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.2 Resonance with light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.1.3 Energy transfer at a constant frequency is reversible . . . . . . . . . . . . . . 484.1.4 Energy loss from damping is irreversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.5 Aside: The Tacoma Narrows and Millennium Bridges . . . . . . . . . . . . . 514.2 Intensity spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1 Spectral graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2 Continuous and line spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Transmission and absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1 Transmission spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2 Absorption spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Doppler effect and red/blue shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.1 The Doppler effect for sound waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4.2 Doppler effect for other types of waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.3 Supersonic motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Mechanical Waves 5.1 Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.1 How waves work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.2 Speed of waves on a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.3 Damped waves on a string . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.1 Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2.2 How sound waves work and speed of sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2.3 The sound spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.4 Sonar and Medical ultrasound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.3 The physics of music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.1 Physics terminology for music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2 Musical instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3.3 The Western musical scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Water waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.1 Forces and wave speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.2 Phase velocity and group velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.3 Water motion in waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4.4 Long wavelength water waves: tsunamis, tides, and seiches . . . . . . . . . . 875.5 Seismic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.1 Earthquakes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.2 Types of seismic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.5.3 Seismic wave speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5.4 The Earth’s structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Part II: Light 6 Electromagnetic waves 6.1 Light waves as electric and magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.1.1 Scalars, vectors, and fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1.2 Static electric fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1.3 Static magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.1.4 Dynamic electric and magnetic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.5 Electromagnetic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.6 How light waves work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.7 Light in a medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2 The electromagnetic spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3.1 White objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3.2 Rayleigh scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.1 Electromagnetic waves can be polarized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2 Polarized light from selective absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.3 Other sources of polarized light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4.4 Birefringence and optical activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.5 Between crossed polarizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.6 Circular polarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137 Photons 7.1 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.1.1 Problems with classical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.1.2 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.1.3 Quantum interpretation of the double-slit experiment . . . . . . . . . . . . . 1187.2 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.1 Classical momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.2 Photon momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3 Radiometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2.4 Solar sails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2.5 Laser tweezers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3 Matter waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.1 The de Broglie equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2 Matter wave speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.3 Particle in a box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.4 The hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3.5 Atomic spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4 Fluorescence, phosphorescence, and lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.4.1 Fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.4.2 Phosphorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.4.3 Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.5 Quantum mechanics and information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.5.1 Heisenberg uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.5.2 Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368 Blackbody radiation 8.1 Blackbody radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.1 Wien’s displacement law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.1.2 Stefan-Boltzmann Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.1.3 Radiation coupling for black and white objects . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.1.4 Two-way blackbody radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 The greenhouse effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.2.1 Greenhouse effects on Mars and Venus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.2 Global warming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.4.1 The Earth’s energy budget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Part III: Rays 9 Shadows and Pinhole cameras 9.1 Shadows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.1.1 Umbra and penumbra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.2 Pinhole camera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410 Reflection 10.1 Reflection in general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.1.1 Requirements for reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.1.2 Law of reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.2 Flat reflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2.1 One mirror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2.2 Retroreflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.3 Concave reflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.3.1 Parabolic reflectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.3.2 Concave spherical mirrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.4 Convex spherical mirrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.5 Mirrors, inversion, and symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.6 Fermat’s principle of least time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811 Refraction11.1 Refractive index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.2 Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.3 Incidence at an angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.3.1 Snell’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.3.2 Snell’s Law in use, and total internal reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.3.3 Examples of total internal reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.4 Convex lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.5 Concave lenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.6 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.7 Fermat’s principle of least time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912 Vision 12.1 Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.1.1 Color wheel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.1.2 Addition of light and the RGB color scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18412.1.3 Light subtraction due to pigments and the CMYK color scheme . . . . . . . 18512.1.4 HSV color scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.2 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Appendices A NumbersA.1 Scientific notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.1.1 Scientific notation on a calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.2 More calculator advice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.3 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192B Units B.1 Units are your friends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195B.2 The metric system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195B.3 Unit math . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197B.4 Unit conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197B.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199C Algebra C.1 Solving problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.2 Expressions and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.2.1 Expersions and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201C.2.2 Manipulating expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202C.2.3 Manipulating equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203C.3 Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204D Geometry D.1 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205D.1.1 Similar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205D.1.2 Right triangles and trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205D.2 Areas and volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
