Description
Book SynopsisDer vorliegende Band 11 der Höheren Mathematik für Ingenieure enthält eine in sich geschlossene Darstellung der "Linearen Algebra" mit vielfältigen Bezügen zur Technik und Naturwissenschaft. Adressaten sind in erster Linie Ingenieurstudenten, aber auch Studenten der Ange wandten Mathematik und Physik, etwa der Richtungen Technomathematik, mathe matische Informatik, theoretische Physik. Sicherlich wird auch der "reine" Mathe matiker für ihn Interessantes in dem Buch finden. Der Band ist - bis auf wenige Querverbindungen - unabhängig vom Band I "Ana lysis" gestaltet, so daß man einen Kursus über Ingenieurmathematik auch mit dem vorliegenden Buch beginnen kann. (Beim Studium der Elektrotechnik wird z. B. gerne mit Linearer Algebra begonnen.) Vorausgesetzt werden lediglich Kenntnisse aus der Schulmathematik. Auch die einzelnen Abschnitte des Buches sind mit einer gewissen Unabhängigkeit voneinander konzipiert, so daß Quereinstiege möglich sind. Dem Leser, der schon einen ersten Kursus über Lineare Algebra absolviert hat, steht in diesem Bande ein Nachschlagewerk zur Verfügung, welches ihm in der Praxis oder beim Examen eine Hilfe ist. Die Bedeutung der Linearen Algebra für Technik und Naturwissenschaft ist in die sem Jahrhundert stark gestiegen. Insbesondere ist die Matrizen-Rechnung, die sich erst in den dreißiger Jahren in Physik und Technik durchzusetzen begann, heute ein starkes Hilfsmittel in der Hand des Ingenieurs. Darüber hinaus führt die Synthese von Linearer Algebra und Analysis zur Funktionsanalysis, die gerade in den letzten Jahrzehnten zu einem leistungsfähigen theoretischen Instrumentarium für Natur wissenschaft und Technik geworden ist.
Table of Contents1 Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen.- 1.1 Vektoren in der Ebene.- 1.1.1 Kartesische Koordinaten und Zahlenmengen.- 1.1.2 Winkelfunktionen und Polarkoordinaten.- 1.1.3 Vektoren im ?2.- 1.1.4 Physikalische und technische Anwendungen.- 1.1.5 Inneres Produkt (Skalarprodukt).- 1.1.6 Parameterform und Hessesche Normalform einer Geraden.- 1.1.7 Geometrische Anwendungen.- 1.2 Vektoren im dreidimensionalen Raum.- 1.2.1 Der Raum ?3.- 1.2.2 Inneres Produkt (Skalarprodukt).- 1.2.3 Dreireihige Determinanten.- 1.2.4 Äußeres Produkt (Vektorprodukt).- 1.2.5 Physikalische, technische und geometrische Anwendungen.- 1.2.6 Spatprodukt, mehrfach Produkte.- 1.2.7 Lineare Unabhängigkeit.- 1.2.8 Geraden und Ebenen im ?3.- 2 Vektorräume beliebiger Dimensionen.- 2.1 Die Vektorräume ?n und ?n.- 2.1.1 Der Raum ?n und seine Arithmetik.- 2.1.2 Inneres Produkt, Beträge von Vektoren.- 2.1.3 Unterräume, lineare Mannigfaltigkeiten.- 2.1.4 Geometrie im Raum ?n, Winkel, Orthogonalität.- 2.1.5 Der Raum ?n.- 2.2 Lineare Gleichungssysteme, Gauß’scher Algorithmus.- 2.2.1 Reguläre lineare Gleichungssysteme.- 2.2.2 Computerprogramm für reguläre lineare Gleichungssysteme.- 2.2.3 Singuläre lineare Gleichungssysteme.- 2.2.4 Allgemeiner Satz über quadratische lineare Gleichungssysteme.- 2.2.5 Rechteckige Systeme, Rangkriterium.- 2.3 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper.- 2.3.1 Einführung: Beispiel einer Gruppe.- 2.3.2 Gruppen.- 2.3.3 Permutationsgruppen.- 2.3.4 Homomorphismen, Nebenklassen.- 2.3.5 Körper.- 2.4 Vektorräume über beliebigen Körpern.- 2.4.1 Definition und Grundeigenschaften.- 2.4.2 Beispiele für Vektorräume.- 2.4.3 Unterräume, Basis, Dimension.- 2.4.4 Direkte und freie Summen.- 2.4.5 Lineare Abbildungen: Definition und Beispiele.- 2.4.6 Isomorphismen, Konstruktion linearer Abbildungen.- 2.4.7 Kern, Bild, Rang.- 2.4.8 Euklidische Vektorräume, Orthogonalität.- 2.4.9 Ausblick auf die Funktionalanalysis.- 3 Matrizen.- 3.1 Definition, Addition, s-Multiplikation.- 3.1.1 Motivation.- 3.1.2 Grundlegende Begriffsbildung.- 3.1.3 Addition, Subtraktion, s-Multiplikation.- 3.1.4 Transposition, Spalten und Zeilenmatrizen.- 3.2 Matrizenmultiplikation.- 3.2.1 Matrix-Produkt.- 3.2.2 Produkte mit Vektoren.- 3.2.3 Matrizen und lineare Abbildungen.- 3.2.4 Blockzerlegung.- 3.3 Reguläre und inverse Matrizen.- 3.3.1 Reguläre Matrizen.- 3.3.2 Inverse Matrizen.- 3.4 Determinanten.- 3.4.1 Definition, Transpositionsregel.- 3.4.2 Regeln für Determinanten.- 3.4.3 Berechnung von Determinanten mit dem Gauß’schen Algorithmus.- 3.4.4 Matrix-Rang und Determinanten.- 3.4.5 Der Determinanten-Multiplikationssatz.- 3.4.6 Lineare Gleichungssysteme: die Cramersche Regel.- 3.4.7 Inversenformel.- 3.4.8 Entwicklungssatz.- 3.4.9 Zusammenstellung der wichtigsten Regeln über Determinanten.- 3.5 Spezielle Matrizen.- 3.5.1 Definition der wichtigsten speziellen Matrizen.- 3.5.2 Algebraische Strukturen von Mengen spezieller Matrizen.- 3.5.3 Orthogonale und unitäre Matrizen.- 3.5.4 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.- 3.5.5 Zerlegung und Transformationen symmetrischer Matrizen.- 3.5.6 Positiv definierte Matrizen und Bilinearformen.- 3.5.7 Kriterien für positiv definite Matrizen.- 3.5.8 Direkte Summe und direktes Produkt von Matrizen.- 3.6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 3.6.1 Rangkriterium.- 3.6.2 Quadratische Systeme, Fredholmsche Alternative.- 3.6.3 Dreieckszerlegung von Matrizen durch den Gauß’schen Algorithmus, Cholesky-Verfahren.- 3.6.4 Große Gleichungssysteme, Gesamtschrittverfahren.- 3.6.5 Einzelschrittverfahren.- 3.7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 3.7.1 Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 3.7.2 Anwendung: Schwingungen.- 3.7.3 Eigenschaften des charakteristischen Polynoms.- 3.7.4 Eigenvektoren und Eigenräume.- 3.7.5 Symmetrische Matrizen und ihre Eigenwerte.- 3.7.6 Die Jordansche Normalform.- 3.7.7 Praktische Durchführung der Transformation auf Jordansche Normalform.- 3.7.8 Berechnung des charakteristischen Polynoms und der Eigenwerte mit dem Krylov-Verfahren.- 3.7.9 Das Jacobi-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen.- 3.7.10 Von-Mises-Iteration, Deflation und inverse Iteration zur numerischen Eigenwert- und Eigenvektorberechnung. Ausblick.- 3.8 Matrix-Funktionen.- 3.8.1 Matrix-Potenzen.- 3.8.2 Matrix-Polynome.- 3.8.3 Annullierende Polynome, Satz von Cayley-Hamilton.- 3.8.4 Das Minimalpolynom einer Matrix.- 3.8.5 Folgen und Reihen von Matrizen.- 3.8.6 Potenzreihen von Matrizen.- 3.8.7 Matrix-Exponentialfunktion, Matrix-Sinus- und Matrix-Cosinusfunktion.- 3.9 Drehungen, Spiegelungen, Koordinatentransformationen.- 3.9.1 Drehungen und Spiegelungen in der Ebene.- 3.9.2 Spiegelungen im ?n, QR-Zerlegungen.- 3.9.3 Drehungen im dreidimensionalen Raum.- 3.9.4 Spiegelungen und Drehspiegelungen im dreidimensionalen Raum.- 3.9.5 Basiswechsel und Koordinatentransformation.- 3.9.6 Transformation bei kartesischen Koordinaten.- 3.9.7 Affine Abbildungen und affine Koordinatentransformationen.- 3.9.8 Hauptachsentransformation von Quadriken.- 3.9.9 Kegelschnitte.- 3.9.10 Flächen zweiten Grades: Ellipsoide, Hyperboloide, Paraboloide.- 4 Anwendungen.- 4.1 Technische Strukturen.- 4.1.1 Ebene Stabwerke.- 4.1.2 Elektrische Netzwerke.- 4.2 Roboter-Bewegungen.- 4.2.1 Einführende Betrachtungen.- 4.2.2 Kinematik eines (n+ l)-gliedrigen Roboters.- Symbole.- Literatur.
