Description
Book SynopsisTable of Contents1 Grundlagen.- 1.1 Reelle Zahlen.- 1.1.1 Die Zahlengerade.- 1.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen.- 1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit.- 1.1.4 Mengenschreibweise.- 1.1.5 Vollständige Induktion.- 1.1.6 Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag.- 1.1.7 Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische.- 1.2 Elementare Kombinatorik.- 1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik.- 1.2.2 Permutationen.- 1.2.3 Permutationen mit Identifikationen.- 1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen.- 1.2.5 Variationen mit Wiederholungen.- 1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen.- 1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen.- 1.2.8 Zusammenfassung.- 1.3 Funktionen.- 1.3.1 Beispiele.- 1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablen.- 1.3.3 Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie.- 1.3.4 Umkehrfunktion, Verkettungen.- 1.3.5 Allgemeiner Abbildungsbegriff.- 1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen.- 1.4.1 Definition und Beispiele.- 1.4.2 Nullfolgen.- 1.4.3 Konvergente Folgen.- 1.4.4 Ermittlung von Grenzwerten.- 1.4.5 Häufungspunkte, beschränkte Folgen.- 1.4.6 Konvergenzkriterien.- 1.4.7 Lösen von Gleichungen durch Iteration.- 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen.- 1.5.1 Konvergenz unendlicher Reihen.- 1.5.2 Allgemeine Konvergenzkriterien.- 1.5.3 Absolut konvergente Reihen.- 1.5.4 Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen.- 1.6 Stetige Funktionen.- 1.6.1 Problemstellung: Lösen von Gleichungen.- 1.6.2 Stetigkeit.- 1.6.3 Zwischenwertsatz.- 1.6.4 Regeln für stetige Funktionen.- 1.6.5 Maximum und Minimum stetiger Funktionen.- 1.6.6 Gleichmäßige Stetigkeit.- 1.6.7 Grenzwerte von Funktionen.- 1.6.8 Pole und Grenzwerte im Unendlichen.- 1.6.9 Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten.- 2 Elementare Funktionen.- 2.1 Polynome.- 2.1.1 Allgemeines.- 2.1.2 Geraden.- 2.1.3 Quadratische Polynome, Parabeln.- 2.1.4 Quadratische Gleichungen.- 2.1.5 Berechnung von Polynomwerten, Homer-Schema.- 2.1.6 Division von Polynomen, Anzahl der Nulllstellen.- 2.2 Rationale und algebraische Funktionen.- 2.2.1 Gebrochene rationale Funktionen.- 2.2.2 Algebraische Funktionen.- 2.2.3 Kegelschnitte.- 2.3 Trigonometrische Funktionen.- 2.3.1 Bogenlange am Einheitskreis.- 2.3.2 Sinus und Cosinus.- 2.3.3 Tangens und Cotangens.- 2.3.4 Arcus-Funktionen.- 2.3.5 Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen.- 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen.- 2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen.- 2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e.- 2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = ex und der natürliche Logarithmus.- 2.4.4 Logarithmen zu beliebigen Basen.- 2.4.5 Hyperbel- und Areafunktionen.- 2.5 Komplexe Zahlen.- 2.5.1 Einführung.- 2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen.- 2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen.- 2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm.- 2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen.- 3 Differentialrechnung einer reellen Variablen.- 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung.- 3.1.1 Geschwindigkeit.- 3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten.- 3.1.3 Differenzierbare Funktionen.- 3.1.4 Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen.- 3.1.5 Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren.- 3.1.6 Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 3.1.7 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen.- 3.1.8 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen.- 3.1.9 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen.- 3.1.10 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln.- 3.2 Ausbau der Differentialrechnung.- 3.2.1 Die Regeln von de l’Hospital.- 3.2.2 Die Taylorsche Formel.- 3.2.3 Beispiele zur Taylorformel.- 3.2.4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen.- 3.2.5 Berechnung von ?.- 3.2.6 Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung.- 3.2.7 Das Newtonsche Verfahren.- 3.2.8 Bestimmung von Extremstellen.- 3.2.9 Kurvendiskussion.- 3.3 Anwendungen.- 3.3.1 Bewegung von Massenpunkten.- 3.3.2 Fehlerabschätzung.- 3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln.- 3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen.- 3.3.5 Zum Newtonschen Verfahren.- 3.3.6 Extremalprobleme.- 4 Integralrechnung einer reellen Variablen.- 4.1 Grundlagen der Integralrechnung.- 4.1.1 Flächeninhalt und Integral.- 4.1.2 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen.- 4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel.- 4.1.4 Regeln für Integrale.- 4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 4.2 Berechnung von Integralen.- 4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale.- 4.2.2 Substitutionsmethode.- 4.2.3 Produktintegration.- 4.2.4 Integration rationaler Funktionen.- 4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen.- 4.2.6 Numerische Integration.- 4.3 Uneigentliche Integrale.- 4.3.1 Definition und Beispiele.- 4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien.- 4.3.3 Integralkriterium für Reihen.- 4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion.- 4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung.- 4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik.- 4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen.- 4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung.- 4.4.4 Ortskurven bei Wechselstromschaltungen.- 5 Folgen und Reihen von Funktionen.- 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen.- 5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen.- 5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen.- 5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen.- 5.2 Potenzreihen.- 5.2.1 Konvergenzradius.- 5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren.- 5.2.3 Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz.- 5.2.4 Bemerkung zur Polynomapproximation.- 5.3 Fourier-Reihen.- 5.3.1 Periodische Funktionen.- 5.3.2 Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten.- 5.3.3 Beispiele für Fourier-Reihen.- 5.3.4 Konvergenz von Fourier-Reihen.- 5.3.5 Komplexe Schreibweise von Fourier-Reihen.- 5.3.6 Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung.- 6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler.- 6.1 Der n-dimensionale Raum ?n.- 6.1.1 Spaltenvektoren.- 6.1.2 Arithmetik im ?n.- 6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren.- 6.1.4 Topologische Begriffe.- 6.1.5 Matrizen.- 6.2 Abbildungen im ?n.- 6.2.1 Abbildungen aus ?n in ?n.- 6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler.- 6.2.3 Stetigkeit im ?n.- 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen.- 6.3.1 Partielle Ableitungen.- 6.3.2 Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene.- 6.3.3 Regeln für differenzierbare Abbildungen Richtungsableitung.- 6.3.4 Das vollständige Differential.- 6.3.5 Höhere partielle Ableitungen.- 6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz.- 6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen.- 6.4.1 Newton-Verfahren im ?n.- 6.4.2 Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz.- 6.4.3 Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen.- 6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen.- 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler.- 7.1 Integration bei zwei Variablen.- 7.1.1 Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler.- 7.1.2 Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler.- 7.1.3 Grundlegende Sätze.- 7.1.4 Riemannsche Summen.- 7.1.5 Anwendungen.- 7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten.- 7.1.7 Transformationsformel für Bereichsintegrale.- 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen.- 7.2.1 Riemannsches Integral im ?n.- 7.2.2 Grundlegende Sätze.- 7.2.3 Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformel.- 7.2.4 Rauminhalte.- 7.2.5 Rotationskörper.- 7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente.- 7.3 Parameterabhängige Integrale.- 7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale.- 7.3.2 Differentiation eines parameterunabhängigen Integrals.- 7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen.- Lösungen zu den Übungen.- Symbole.- Literatur.
