Description
Book Synopsis6 mathematische Lösungsmethoden bei der Untersuchung der ihn interessieren den Fragen helfen können. Dieses Anliegen wird im Buch dadurch realisiert, daß die behandelten mathematischen Themen an vielen Anwendungsbeispie len illustriert werden und daß großer Wert auf die Interpretation der erzielten Ergebnisse gelegt wird. Die Darlegungen des Buches berücksichtigen natürlich, daß ein Student im l. Semester noch kein fertig ausgebildeter Wirtschaftswissenschaftler ist. Deshalb werden sehr spezielle Fachtermini vermieden. Zur Anregung der selbständi gen Beschäftigung mit dem behandelten Stoff werden dafür eine große Zahl an Übungsaufgaben gestellt, von denen in der Regel auch die Lösungen im Anhang zu finden sind. Schließlich ist die Vielzahl im Buch enthaltener Abbildungen dazu gedacht, das Vorstellungsvermögen anzuregen und zu verbessern. Das vorliegende Lehrbuch vereint gewissermaßen drei Bücher in einem: einen Vorkurs zum Erwerb oder zur Festigung von Abiturkenntnissen, den ei gentlichen Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, der die Ge biete Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Analysis mehrerer Veränder licher umfaßt, sowie eine relativ umfangreiche Einführung in die Finanzma thematik. Nicht unerwähnt sollte bleiben, daß das Buch so angelegt ist, daß es sich auch vorzüglich zum Selbststudium eignet. Erfreulicherweise stieß die erste Ausgabe auf eine rege Nachfrage, so daß be reits nach relativ kurzer Zeit eine neue Auflage notwendig wurde. Wesentliche inhaltliche Änderungen erschienen uns dabei nicht erforderlich, jedoch haben wir das gesamte Buch einer nochmaligen kritischen Durchsicht unterzogen und einige Schreibfehler korrigiert.
Table of Contents1 Grundlagen.- 1.1 Instrumente der Elementarmathematik.- 1.1.1 Zahlbereiche. Zahlendarstellung.- 1.1.2 Rechnen mit Zahlen.- 1.1.3 Bruchrechnung.- 1.1.4 Potenzrechnung.- 1.1.5 Binomische Formeln. Partialdivision.- 1.1.6 Wurzelrechnung.- 1.1.7 Logarithmenrechnung.- 1.1.8 Rechenregeln und Auflösung von Gleichungen.- 1.1.9 Koordinatensysteme.- 1.1.10 Winkelbeziehungen.- 1.1.11 Komplexe Zahlen.- 1.2 Darstellung von Funktionen einer Variablen.- 1.2.1 Formen der Darstellung.- 1.2.2 Operationen mit Funktionen.- 1.2.3 Wichtige spezielle Funktionen.- 1.3 Ergänzende Fragen.- 1.3.1 Intervalle.- 1.3.2 Auflösung von Ungleichungen.- 1.3.3 Absolute Beträge.- 1.4 Analytische Geometrie.- 1.4.1 Geradengleichungen in der Ebene.- 1.4.2 Geraden und Ebenen im Raum.- 1.4.3 Graphische Darstellung von Ungleichungssystemen.- 1.5 Zahlenfolgen und Zahlenreihen.- 1.5.1 Grundbegriffe.- 1.5.2 Arithmetische Folgen und Reihen.- 1.5.3 Geometrische Folgen und Reihen.- 2 Logik und Mengenlehre.- 2.1 Aussagenlogik.- 2.1.1 Aussagen.- 2.1.2 Aussagenverbindungen.- 2.1.3 Quantoren.- 2.1.4 Einfache Schlußweisen.- 2.2 Mengenlehre.- 2.2.1 Grundbegriffe.- 2.2.2 Mengenrelationen.- 2.2.3 Mengenoperationen.- 2.2.4 Abbildungen und Punktionen.- 3 Finanzmathematik.- 3.1 Zins- und Zinseszinsrechnung.- 3.1.1 Einfache Verzinsung.- 3.1.2 Zinseszinsrechnung.- 3.1.3 Grundaufgaben der Zinseszinsrechnung.- 3.1.4 Kapitalwertmethode.- 3.1.5 Gemischte Verzinsung.- 3.1.6 Unterjährige Verzinsung.- 3.2 Rentenrechnung.- 3.2.1 Grundbegriffe der Rentenrechnung.- 3.2.2 Vorschüssige Renten.- 3.2.3 Nachschüssige Renten.- 3.2.4 Grundaufgaben der Rentenrechnung.- 3.2.5 Ewige Rente.- 3.3 Tilgungsrechnung.- 3.3.1 Grundbegriffe. Formen der Tilgung.- 3.3.2 Ratentilgung.- 3.3.3 Annuitätentilgung.- 3.3.4 Tilgungspläne.- 3.4 Renditerechnung.- 4 Lineare Algebra.- 4.1 Matrizen. Vektoren. Vektorräume.- 4.1.1 Begriff der Matrix.- 4.1.2 Spezielle Matrizen.- 4.1.3 Matrizenrelationen.- 4.1.4 Operationen mit Matrizen.- 4.2 Matrizenmultiplikation.- 4.2.1 Skalarprodukt.- 4.2.2 Produkt von Matrizen.- 4.2.3 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.- 4.2.4 Anwendungen der Matrizenmultiplikation.- 4.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS).- 4.3.1 Begriff des linearen Gleichungssystems.- 4.3.2 Darstellungsformen von LGS.- 4.3.3 Begriff der Lösung eines LGS.- 4.3.4 Lineare Gleichungssysteme mit Einheitsmatrix.- 4.3.5 Elementare Umformungen eines LGS.- 4.4 Gaußscher Algorithmus.- 4.4.1 Anwendung elementarer Umformungen.- 4.4.2 Ablaufplan des Gaußschen Algorithmus.- 4.4.3 Lösungsdarstellung.- 4.4.4 Numerische Aspekte.- 4.4.5 Zusammenfassende Bemerkungen.- 4.5 Lineare Unabhängigkeit.- 4.5.1 Linearkombination.- 4.5.2 Begriff der linearen Unabhängigkeit.- 4.5.3 Basis und Rang.- 4.5.4 Zur Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme.- 4.6 Matrizeninversion.- 4.6.1 Definition der inversen Matrix.- 4.6.2 Anwendungen der Matrizeninversion.- 4.7 Determinanten.- 4.7.1 Definition der Determinante.- 4.7.2 Eigenschaften von Determinanten.- 4.7.3 Anwendungen der Determinantenrechnung.- 4.7.4 Definitheit von Matrizen.- 4.7.5 Zusammenfassende Bemerkungen.- 5 Lineare Optimierung.- 5.1 Gegenstand der Linearen Optimierung.- 5.1.1 Betrachtung einer Modellsituation.- 5.1.2 Bestandteile einer LOA. Lösungsbegriff.- 5.2 Modellierung und graphische Lösung von LOA.- 5.2.1 Modellierung typischer Problemstellungen.- 5.2.2 Graphische Lösung von LOA.- 5.3 Theorie der Linearen Optimierung.- 5.3.1 Überführung in die Gleichungsform.- 5.3.2 Basislösungen und Eckpunkte.- 5.3.3 Eigenschaften von LOA.- 5.4 Simplexmethode für Optimierungsaufgaben in Gleichungsform.- 5.4.1 Grundidee.- 5.4.2 Auswahl der aufzunehmenden Basisvariablen.- 5.4.3 Auswahl der auszuschließenden Basisvariablen.- 5.4.4 Ablaufplan des Simplexalgorithmus.- 5.4.5 Beispiele. Rechenkontrollen.- 5.4.6 Sonderfälle.- 5.5 Zwei-Phasen-Methode.- 5.5.1 Grundidee.- 5.5.2 Mögliche Fälle.- 5.5.3 Beispiele.- 5.6 Dualität in der Linearen Optimierung.- 5.6.1 Konstruktion der dualen Aufgabe.- 5.6.2 Dualitätsbeziehungen.- 5.6.3 Ökonomische Interpretation der Dualvariablen.- 6 Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen.- 6.1 Grenzwert und Stetigkeit.- 6.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen.- 6.1.2 Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen.- 6.1.3 Stetigkeit.- 6.1.4 Eigenschaften stetiger Funktionen.- 6.2 Differenzen- und Differentialquotient.- 6.2.1 Der Begriff des Differentialquotienten.- 6.2.2 Differential.- 6.2.3 Differentiationsregeln. Höhere Ableitungen.- 6.3 Charakterisierung von Funktionen mittels Ableitungen.- 6.3.1 Monotonie und Beschränktheit.- 6.3.2 Extremwerte.- 6.3.3 Wendepunkte. Krümmungsverhalten.- 6.3.4 Kurvendiskussion.- 6.3.5 Beispiele zur Kurvendiskussion.- 6.3.6 Anwendungen in der Marginalanalyse.- 6.4 Numerische Methoden der Nullstellenberechnung.- 6.4.1 Intervallhalbierung.- 6.4.2 Sekantenverfahren. Regula falsi.- 6.4.3 Newtonverfahren.- 7 Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 7.1 Begriff und Beispiele.- 7.1.1 Funktionsbegriff.- 7.1.2 Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 7.2 Grenzwert und Stetigkeit.- 7.3 Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 7.3.1 Begriff der Differenzierbarkeit.- 7.3.2 Partielle Ableitungen und Elastizitäten.- 7.3.3 Gradient einer Funktion. Verschiedene Interpretationen.- 7.3.4 Partielle Ableitungen höherer Ordnung. Hessian.- 7.3.5 Vollständiges Differential.- 7.3.6 Implizite Funktionen.- 8 Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 8.1 Extremwerte ohne Nebenbedingungen.- 8.1.1 Notwendige und hinreichende Extremwertbedingungen.- 8.1.2 Beispiele.- 8.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen.- 8.2.1 Allgemeine Aufgabenformulierung.- 8.2.2 Die Eliminationsmethode.- 8.2.3 Lagrange-Methode.- 8.2.4 Interpretation der Lagrangeschen Multiplikatoren.- 8.3 Methode der kleinsten Quadrate.- 8.3.1 Problemstellung. Lineare Regression.- 8.3.2 Allgemeinere Ansatzfunktionen.- 9 Integralrechnung.- 9.1 Das unbestimmte Integral.- 9.1.1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen.- 9.1.2 Integrationsregeln.- 9.2 Das bestimmte Integral.- 9.2.1 Integralbegriff für Funktionen einer Variablen.- 9.2.2 Integrierbarkeit. Eigenschaften bestimmter Integrale.- 9.2.3 Numerische Integration.- 9.2.4 Uneigentliche Integrale.- 9.2.5 Doppelintegral.- 9.3 Anwendungen der Integralrechnung.- A Lösungen zu den Aufgaben.- B Klausurbeispiel.
