Description
Book SynopsisViele angehende Studenten haben gehörigen Respekt vor der Mathematik, wenn sie ein Studium der Wirtschaftswissenschaften beginnen, und das zu Recht. Aber Hilfe naht: Torsten Schreiber bringt Sie, egal wo Sie auf der Schule waren und wo Sie studieren werden, auf den Stand, dass Sie der Mathematikvorlesung im ersten Semester folgen können. Er erklärt Ihnen noch einmal die Grundrechenarten mit und ohne Zahlen und erläutert, was Sie über Algebra und Analysis wissen sollten. Auch Exponential- und Logarithmenrechnung kommen nicht zu kurz, und so ist dies für Sie das perfekte Auffrischungsbuch vor dem Studium.
Table of ContentsEinführung
Über dieses Buch 17
Wofür die Wirtschaftsmathematik gut ist 17
Konventionen in diesem Buch 18
Wie Sie dieses Buch nutzen können 18
Törichte Annahmen über den Leser 19
Wie dieses Buch aufgebaut ist 19
Teil I: Arithmetik – die Magie der Mathematik 19
Teil II: Gleichungen – die Kunst der Mathematik 20
Teil III: Vektoren – die Faszination der Mathematik 20
Teil IV: Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 20
Teil V: Differentiale – die Analyse der Mathematik 21
Teil VI: Integrale – die Flächen der Mathematik 21
Teil VII: Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 21
Teil VIII: Der Top-Ten-Teil 22
Zusatzmaterialien im Internet 22
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden 22
Wie es weitergeht 23
Teil I Arithmetik – die Magie der Mathematik 25
Kapitel 1 Plus, minus, mal und geteilt – die Basis der Mathematik 27
Auch hier brauchen Sie zuerst Gesetze 27
Kommutativgesetz 27
Assoziativgesetz 28
Distributivgesetz 29
Was sind das neutrale und das inverse Element? 31
Jede Operation hat auch eine Gegenoperation 31
Klammer auf und Klammer zu und schon wird vieles einfacher 32
Eine Handvoll S von Schreiber 33
Kapitel 2 Auch die Brüche sind Freunde 37
Wie sieht die Welt der Brüche aus? 37
Mit Brüchen können Sie auch rechnen 38
Multiplizieren von Brüchen 39
Addieren oder Subtrahieren von Brüchen 40
Division von Brüchen 40
Wofür braucht man den Kehrwert? 41
Der Doppelbruch sieht schlimmer aus, als er ist 42
Kapitel 3 Potenzen vereinfachen die Welt 45
Der Unterschied zwischen Potenz und Exponential 45
Gesetze müssen Sie nicht lernen, sondern herleiten können 46
Hierarchiepyramide nach Schreiber – Potenzen 46
Die verschiedenen Arten der Exponenten 48
Natürliche Zahlen 48
Negative ganze Zahlen 50
Rationale Zahlen 50
Potenzen grafisch darstellen 52
Kapitel 4 Summen potenzieren? 55
Die erste und zweite binomische Formel begreifen 55
Wie können Sie das dritte Binom effektiv nutzen? 56
Wurzeln entfernen 57
Konjugiert komplexe Zahl 59
Bei Exponenten größer als zwei hilft nur das pascalsche Dreieck 60
Kapitel 5 Von einem exponentiellen Wachstum träumt doch jede(r) 65
Was heißt exponentielles Wachstum/Gefälle? 65
Wenn es steigt 66
Wenn es fällt 67
Exponentielle Funktionen zeichnen 68
Sie betrachten die e-Funktion 70
Kapitel 6 Nach einem Exponenten auflösen 73
Den Logarithmus berechnen können 73
Gesetze müssen Sie auch hier nicht lernen, sondern herleiten können 74
Hierarchiepyramide nach Schreiber – Logarithmen 74
Die Basis des Logarithmus bestimmt den Term 76
Die unterschiedlichen Graphen genauer betrachten 77
Wie kann der Logarithmus ganz einfach neutralisiert werden? 80
Kapitel 7 Sinus und Cosinus auf der Suche nach dem Einheitskreis 83
Alles begann am rechtwinkligen Dreieck 83
Warum ist Pi dasselbe wie 360 Grad? 85
Den Einheitskreis verstehen lernen 86
Was sagen Ihnen Tangens und Cotangens? 90
Was machen Sie, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist? 91
Sinussatz 92
Cosinussatz 93
Teil II Gleichungen – die Kunst der Mathematik 95
Kapitel 8 Gleichungen mit einer Variablen – »fast« zu trivial für Sie 97
Methode für eine lineare Gleichung 97
Wie wird eine lineare Gleichung interpretiert? 99
Eine quadratische Gleichung: Was ist das? 100
Quadratische Ergänzung 103
p–q-Formel/Mitternachtsformel 105
Satz von Vieta 107
Ist eine biquadratische Gleichung schwer? 108
Die Polynomdivision ist auch nur eine ganz normale Division 109
Kapitel 9 Nicht alles, was größer ist, muss auch größer sein 113
Eine Ungleichung verstehen 113
Was bedeutet eine Ungleichung grafisch? 114
Die Lösungsmethode FREPL hilft Ihnen beim Lösen von Ungleichungen 118
Betragsungleichung 119
Bruchungleichung 121
Nicht jedes Ergebnis muss auch Lösung sein 123
Kapitel 10 Zwei Unbekannte / zwei Gleichungen – auch keine Herausforderung! 125
Was suchen Sie grafisch gesehen? 125
Lösungen suchen und effektiv bestimmen 127
Gleichsetzungsverfahren 127
Einsetzungsverfahren 128
Additionsverfahren 128
Das Eliminationsverfahren nach Gauß kann immer helfen 130
Die Mannigfaltigkeit beschreibt die Lösungsmenge 132
Teil III Vektoren – die Faszination der Mathematik 135
Kapitel 11 Früher war alles flach, heute ist es mehrdimensional 137
Was ist eigentlich ein Vektor? 137
Mit Vektoren rechnen 140
Skalares Produkt 141
Inneres Produkt (Skalarprodukt) 141
Äußeres Produkt (Vektorprodukt) 142
Die Länge und den Winkel von Vektoren berechnen 144
Der euklidische Vektorraum 149
Beweis und Interpretation der linearen (Un-)Abhängigkeit 151
Basis 153
Span und Dimension 154
Die Basis transformieren 154
Kapitel 12
Punkt, Gerade und Ebene – alles, was Spaß macht 157
Was wird für eine Gerade/Ebene gebraucht? 157
Ortsvektor 157
Richtungsvektor 158
Eine Gerade besteht aus zwei Vektoren 160
Für eine Ebene benötigen Sie drei Vektoren 161
Der Stellungsvektor – der senkrechte Nagel einer Ebene 162
Die Definition einer Ebene verstehen 164
Parameterform 164
Parameterfreie Darstellung 165
Ein Wechsel zwischen den Darstellungen 166
Kapitel 13 Punkt, Gerade und Ebene – geht da noch was? 169
Liegt der Punkt auf der Geraden oder Ebene? 169
Wie liegen denn zwei Geraden zueinander? 171
Schneidend 172
Windschief 173
Parallel 174
Identisch 175
Der Entscheidungsbaum der Lagerelationen 176
Was passiert zwischen einer Geraden und einer Ebene? 177
Wie können zwei Ebenen zueinander liegen? 179
Parallelität 179
Identität 180
Schnittgerade 181
Dann sollten Sie mal auf Abstand gehen 182
Punkt – Gerade 183
Punkt – Ebene 184
Gerade – Gerade 184
Gerade/Ebene – Ebene 187
Teil IV Grenzwerte – die Ränder der Mathematik 191
Kapitel 14 Der Limes – mehr als nur ein Schutzwall der Römer 193
Was ist ein Grenzwert? 193
Nur an bestimmten Stellen lohnt sich die Grenzwertbetrachtung 195
Spezielle Grenzwerte kennenlernen 198
Was passiert bei »null dividiert durch null«? 200
Kürzen des Linearfaktors 201
Erweiterung mittels des dritten Binoms 202
Regel von L'Hospital 203
Null mal unendlich kann so ziemlich alles sein 204
Die Faustregel der Grenzwertbetrachtung hilft beim Rechnen 205
Die sieben Schritte der Grenzwertberechnung 206
Kapitel 15 Asymptoten – die grafische Interpretation von Grenzen 209
Formen der Annäherungsgraphen erkennen und verstehen 209
Waagerechte Asymptoten 210
Senkrechte Asymptoten 211
Diagonale Asymptoten 212
Die Ersatzfunktion erzeugt die behebbaren Lücken 213
Techniken für Asymptoten und Lücken 215
Grafische Darstellung der Ergebnisse 217
Kapitel 16 Stetigkeit/Differenzierbarkeit – die Interpretation des Limes 221
Ein Graph ohne Sprünge ist stetig 221
Eine Funktion ohne Ecken ist differenzierbar 224
Was versteht man unter einer gesplitteten Funktion? 226
Teil V Differentiale – die Analyse der Mathematik 229
Kapitel 17 Die Bildung von Ableitungen ist keine Hexerei 231
Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten 231
Für reine Potenzterme ableiten nach SchemaF 234
Handelt es sich um ein Produkt, gilt die Produktregel 235
Handelt es sich um einen Quotienten, gilt die Quotientenregel 235
Die Welt besteht aus Kettenregeln 237
Potenzfunktionen 238
Exponentialfunktionen 239
Logarithmusfunktionen 241
Trigonometrische Funktionen 243
Was tun, wenn die Funktion stark verschachtelt ist? 244
Wie gehen Sie mit einer Funktionenschar um? 246
Kapitel 18 Die Ableitungen beschreiben die wesentlichen Punkte einer Funktion 251
Für was wird die erste Ableitung genutzt? 251
Extremstellen 252
Tangentengleichung 254
Was sagt Ihnen die zweite Ableitung? 255
Wendestellen 255
Klassifizierung der Extremstellen 257
Extremwertprobleme verstehen und lösen 259
Bestimmung einer Funktion aufgrund von markanten Punkten 262
Kapitel 19 Die Funktion mittels Kurvendiskussion begreifen 265
Mit sieben Schritten eine Funktion analysieren 265
Wie können Sie aufgrund eines Graphen die Funktion bestimmen? 270
Kapitel 20 Sinus/Cosinus – Funktionen modulieren und verschieben 273
Wie funktionieren die Additionstheoreme? 273
In der Waagerechten und in der Senkrechten verschieben 274
Phasenverschiebung 274
Wertebereichsverschiebung 275
Den Sinus/Cosinus strecken oder stauchen 276
Amplitudenmodulation 277
Periodenvariation 277
Skizzieren von trigonometrischen Funktionen 278
Teil VI Integrale – die Flächen der Mathematik 283
Kapitel 21 Die Stammfunktion ist nichts anderes als die »Aufleitung« 285
Zusammenhänge zwischen Integranden- und Stammfunktion 285
Worin unterscheiden sich die Integrale? 286
Die Stammfunktion bilden und verstehen 288
Potenzterme 288
A3-Verfahren 289
Partielle Integration 292
Integration mittels Substitution 296
Der sichere Weg zum Integral 298
Kapitel 22 Egal welche Fläche, es ist immer ein Integral 301
Das sollten Sie generell über Flächen wissen 301
Die Fläche innerhalb von definierten Grenzen bestimmen 303
Wie groß ist die Fläche … 305
… zwischen Funktion und x-Achse 305
… zwischen zwei Funktionen 306
Welche Grenzen müssen Sie wählen, um eine gegebene Fläche zu bekommen? 308
Teil VII Mengenlehre – der Urknall der Mathematik 311
Kapitel 23 Mengenlehre begreifen, um die Mathematik zu verstehen 313
Aus was besteht denn eigentlich eine Menge? 313
Mengen einfach definieren und darstellen 315
Eigenschaften 316
Venn-Diagramm 317
Aufzählungen 318
Keine Angst vor den Beziehungen 318
Teilmenge 318
Durchschnittsmenge 320
Vereinigungsmenge 320
Negation 321
Welche Arten von Symmetrie kann eine Struktur haben? 321
Wofür Gesetze so alles gut sind 322
Klasseneinteilungen klar erzeugen und beweisen 324
Zahlenmengen machen die Welt verständlich 325
Kapitel 24 Wer behauptet, aus negativen Zahlen gebe es keine Wurzeln, der lügt 329
Die komplexe Zahl passt in die bisherige Zahlenwelt 329
Die besondere Rolle des Imaginärteils 331
Was gehört denn sonst noch so zu einer komplexen Zahl? 332
Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl 334
Jetzt müssen Sie nur noch mit den neuen Zahlen rechnen 334
Teil VIII Der Top-Ten-Teil 337
Kapitel 25 Zehn Schritte die Ihre Effektivität steigern 339
Verstehen Sie die Sprache? 339
Haben Sie auch genug trainiert? 339
Eine Aufgabe ist kein Problem, sondern eine Herausforderung! 340
Wissen Sie auch, wo was steht? 341
Was haben Sie und was suchen Sie? 341
Gut geschätzt ist halb gewonnen 342
Der Funktionsgraph hilft Ihnen 342
Kleine Schritte führen sicher zum Ziel 342
Nutzen Sie meine neuen Methoden! 343
Hinterfragen Sie Ihre Ergebnisse! 343
Anhang A: Lösungen 345
Stichwortverzeichnis 397
